39.5. Нестационарное уравнение Шредингера
Состояние свободной микрочастицы, движущейся вдоль оси x, описывается волновой функцией
. (*)
Вычислим производные от этой функции и найдем, что
E
=
.
Любое другое состояние частицы можно в соответствии с принципом квантовой суперпозиции
или
представить в виде суммы состояний со всеми разрешенными импульсами:
(в
случае дискретного спектра) (**)
или
(в случае непрерывного спектра). (***)
Но уравнение квантовой теории, позволяющее найти волновую функцию, должно иметь одинаковую форму для любых состояний (*), (**), (***).
Если полная энергия Е нерелятивистской частицы определена, то она будет суммой потенциальной энергии U(x,t) и кинетической энергии K = mV2/2 = p2/2m:
E = p2/2m + U(x,t).
Подставим (*) в эту формулу для полной энергии, получим:
.
Нестационарное уравнение Шредингера описывает волновые свойства микрочастиц.
Реальная частица движется в трехмерном пространстве, поэтому для ее описания надо использовать волны де Бройля вида
p2 = p2x + p2y + p2z = – 2/,
где
=
– дифференциальный
оператор Лапласа.
Имеем после подстановки:
–
нестационарное
уравнение Шредингера.
Нестационарным оно называется потому, что входящая в него потенциальная энергия взаимодействия микрочастицы с внешними телами зависит от времени.
39.6. Стационарное уравнение Шредингера
Если частица движется в стационарном поле и ее потенциальная энергия не зависит от времени явно, то уравнение
допускает
разделение переменных:
.
Подставим это разделение в уравнение Шредингера и разделим почленно обе части этого уравнения на произведение :
.
Правая и левая части последнего уравнения являются независимыми функциями разных переменных t и r. Они равны между собой только тогда, когда равны некоторой константе. Определим ее. Подставим (*) с соотношения
E
=
.
Таким образом, в стационарном внешнем поле зависимость волновой функции микрочастицы от времени учитывается экспоненциальным множителем:
.
Волновая
функция
,
зависящая только от координат, является
решением стационарного
уравнения Шредингера:
.
При движении частицы вдоль одной оси координат:
.
* Поле U(r), в котором находится частица, считается известным. Стационарное равнение Шредингера позволяет найти и волновую функцию частицы в заданном поле, и все разрешенные значения ее полной энергии Е. Для этого при решении дифференциального уравнения Шредингера обязательно надо задать граничные условия для функции или для плотности вероятности обнаружения частицы ||2. И вероятность ||2, и волновая функция должны меняться плавно, без скачков.
39.7. Уравнение Клейна-Гордона-Фока и волновая функция фотона
Уравнение Шредингера описывает нерелятивистскую микрочастицу. Чтобы получить уравнение для волновой функции релятивистской частицы, воспользуемся релятивистской связью энергии и импульса:
и подставим в нее выражения для квадрата энергии и импульса, полученные с помощью производных из волновой функции и аналогичные выражениям
E
=
,
p2
= –
.
Приходим к дифференциальному уравнению Клейна-Гордона-Фока, которое аналогично уравнению Шредингера, но описывает волновую функцию свободной релятивистской частицы:
+ m2c2)
,
где
дифференциальный оператор
=
– оператор
дАламбера.
Пусть
фотон движется со скоростью света с.
Он не имеет массы покоя. Фотон может
быть по-разному поляризован в пространстве,
то есть, его волновая функция должна
быть векторной функцией. В пространстве
Минковского волновая функция фотона
образует 4-вектор
.
«Временная» часть этого вектора связана
с потенциалом
электрического поля: Act
= /c,
а «пространственная» часть
называется вектор-потенциалом.
– напряженность электрического поля,
– индукция магнитного поля:
=–
grad
= 
/t,
=
rot
.
Имеем для фотона:
A
= 0 
.
Это стандартное уравнение (волновое). Аналогичные волновые уравнения справедливы для электрического и магнитного полей:
= 0 и = 0.
* Уравнение квантовой теории для свободного фотона совпадает по форме с классическим уравнением, описывающим электромагнитную волну.
Пусть поле, в котором находится релятивистская частица, потенциально и стационарно. Тогда к полной энергии частицы, определяемой соотношением
,
Надо добавить энергию взаимодействия с внешним полем:
E
=
.
Подставляя
последние выражения в (**) и учитывая
и
p2
= –
,
получим стационарное уравнение,
позволяющее найти волновую функцию
релятивистской частицы во внешнем
потенциальном поле:
.