8. Екінші ретті қисық-ң канондық теңдеу-і. Эллипс пен гиперболаның эксцентриситеттері мен директрисалары.

Жоғары математикада екінші дәрежелі теңдеулермен анықталатын сызықтарды екінші pеттi қисықтар деп атайды. Олар негізінен шеңбер, эллипс, гипербола ж/е парабола деп аталады. Бұл қисықтар техника мен ғылым саласында иі кездеседі.

1. Шеңбер. Шеңбердеп аталатын берілген нүктеден бірдей қашықтықта жататын жазықтықтағы нүктелердің геометриялық орындарын шенбер деп атайды.

С(х₀,у₀) - берілген нукте. Шеңбердің бойынан кез келген

жылжымалы М(х,у) нүктесін алайык. Сонда СМ(х -х₀,у-у₀),

мұндағы F₁ ж/е F₂ -фокус деп аталатын берілген центрі С нуктесінде жаткан радиусы R -ге тең шеңбердің канондық теңдеуі.

Егер шеңбердің центрі С координаттардың бас нүктесінде жатса, онда х₀ = у₀ = 0 .Сондықтан: х² +у² = R²

2. Эллипс. Фокустар деп аталатын берілген екі нүктеден қашықтықтарының қосындысы әрқашанда тұрақты шама болатын жазықтықтағы нүктелердің геометриялық орындарын эллипс деп атайды. А-ма бойынша F₁M + F₂M = 2a

нүктелер,М{х, у) – эллипстің бойындағы кез келген жылжымалы нүкте, 2а-тұрақты шама

Егер F₁F₂ = 2с десек, онда F₁(-C;0), F₂(C;0). Сонда:

ЕНді осы мәндерді қойсақ:

н/е

Егер а>с болса, онда а² —с²=b² болады. Сон-н эллипстің канондық теңдеуі деп аталатын теңдеуге келеміз:

Мұндағы х пен у эллипстің кез келген жылжымалы нүктесінің координаттары, а – эллипстің үлкен жарты oci, b – онын кіші жарты oci.

Осьтер эллипске симметриялы, ал симметриялы осьтердің қиылысатын нүктесі эллипстің цeнтpi болады.

қатынасын эллипстің эксцентриситеті деп атайды ж/е оны деп белгілейді. Сонымен 6ipгe а > с болғандьқтан l < 1 немесе

Эллипстің үлкен осіне перпендикуляр түзулердің ішінде 6ip түзудің эллипстің кіші осінен қашықтықты d әрқашанда а/l қатынасына тең тұрақты шама болса, онда мұндай түзуді эллипстің директрисасы деп атайды. Директрисалардың тендеу . Эллипс үшін l < 1 болғандьқтан .Сон-тан эллипстің директрисалары оның сыртында жатады.

Егер a=b болса, онда шеңбер эллипстің дерпбес жағдайы болады. Бұл жағдайда с=0, ендеше шеңбердің эксцентриситеті нөлге тең.

3. Гипербола. Фокустар деп аталатын берілген екі нүктеден қашықтықтарының айырмасы әрқашанда тұрақты шама болатын жазықтықтағы нүктелердің геометриялық орындарын гипербола д.а.

4. Парабола. Фокус деп аталатын берілген нүктеден ж/е директриса деп аталатын берілген түзуден ара қашықтықтары бірдей болатын жазықтықтарды нүктелерің геометриялык орындарын парабола дейді Берілген F нүктесінің координаталарын былай белгілейді

Координаталардың бас нүктесінен Р/2 қашықтықтағы ординат осіне параллель берілген түзуді параболаның директрисасы дейді.

М(х,у) - параболаның бойындағы кез келген жылжымалы нүкте.

А-ма бойынша

FM=ME

Екі нүктенің ара қашықтығыньң формуласы бойынша

осы мәндерді апарып қойып, шыққан өрнекті түрлендірсек, параболаның канондық теңдеуі шығады:

у²=2рх

мұндагы р -берілген фокус пен директрисаның арасындағы қашықтық, х пен у - параболаның бойындағы кез келген жылжымалы нуктенің координатасы.

Параболаның эксцентриситеті:

Параболаның директрисасының теңдеуі: