3. Үзіліссіз функциялар. Кесіндідегі үзіліссіз функциялардың қасиеті.
Үзіліссіз функциялар. Ан. y=f(x) функциясы:
a) x0 нүктенің белгілі бір маңайында аңықталса.
b
) 
Онда
y=f(x) функциясы x0 нүктеде
үзіліссізд.а.. Мысал.y
= x2 функциясы x=0 нүктеде
үзіліссіз, өйткені бұл функция біріншіден
осы нүктенің аймағында аңықталған,
екіншіден
,
y(0) = 0, яғни 
Ан y=f(x) функциясы B сандар жиынының (натурал, бүтін, рационал ж/е иррационал сандар жиыны) Ɐ нүктесінде үзіліссіз болса, онда бұл y=f(x) функциясы B сандар жиынында үзіліссізд.а..
Кесіндідегі үзіліссіз функциялардың қасиеті
TH(4-қ): (Больцано-Коши т/ы) F(x) функциясы [a; b] кесіндісінде анықталып, үзіліссіз болсын ж/е оның ұштарында әр түрлі таңба қабылдасын.Онда (a;b) аралығында f(x0)=0 болатын x0 нүктесі табылады.
TH(5-қ): F(x) функциясы [a; b] кесіндісінде анықталып үзіліссіз болсын. Онда f(a) ж/е f(x) нүктелерінің арасында орналасқан Ɐ С саны үшін f(x0)=C болатын x0∊[a;b] нүктесі табылады.
TH(6-қ):(Вейерштрасстың 1-ші т/ы) F(x) функциясы [a; b] кесіндісінде анықталып үзіліссіз болсын. Онда бұл функция сол кесіндіде шенелген.
TH(7-қ):(Вейерштрасстың 2-ші т/ы) F(x) функциясы [a; b] кесіндісінде анықталып үзіліссіз болсын. Онда функция [a; b] кесіндісінде өзінің ең үлкен ж/е ең кіші мәндерін қабылдайды, яғни Ɐ x0∊[a;b] нүктесі үшін f(x1)≤f(x) ≤f(x2) теңсіздіктері орындалады.
Мысалы:
Функциясын
үзіліссіздікке зерттеп графигін салу
керек.Функцияны
нүктелерінде
үзіліссіздікке зерттейік, ол үшін сәйкес
біржақты шектермен функцияның мәндерін
табамыз.
нүктесінде:
Сонымен, бұл нүктеде
яғни, функцияның бірінші текті үзілісі
бар ж/е сол жағынан үзіліссіз. F(x)
функциясының
нүктесіндегі секірмесі:
4. Функцияның үзіліс нүктелері ж/е олардың классификациясы.
Функцияның үзіліс нүктелері.
Ан: x0 нүктесі F(x) функциясының анықталу аймағына тиісті н/е сол аймақтың шектік нүктесі болсын. Егер F(x) функциясы x0 нүктесінде үзіліссіз болмаса, онда сол нүкте F(x) функциясының үзіліс нүктесід.а.; Үзіліс нүктелер бірінші текті ж/е екінші текті деп бөлінеді;
Ан:
x0
нүктесі
арқылы біржақты
ж/е
шектері
бар болса, бірақ олар өзара тең емес н/е
біржақты шектер өзара тең, ал функцияның
сол нүктедегі мәні біржақты шектермен
беттеспесе, онда x0
нүктесі
бірінші
текті үзіліс нүктед.а.;
Егер x0
нүктесінде
арқылы
шек
бар болса, ал f(x0)
анықталмаған
н/е
болса,
онда бұл нүкте жөнделетін
үзіліс нүктесід.а..
F(x) функциясының, жөнделетін үзіліс
нүктесі болмайтын, бірінші текті үзіліс
нүктелері функцияның секірме
нүктелерід.а.;
Егер
x0
-
функцияның секірме нүктесі болса, онда
айырмасы
нөлге тең емес ж/е F(x)
функциясының x0
нүктесінде
секірмесід.а.;
Ан: егер x0 нүктесінде ж/е біреуі бар болмаса, онда x0-екінші текті үзіліс нүктесід.а..
5. Дифференциалданатын функция-ң нег-гі қасиет-рі. Бір айнымалы функция үшін Тейлор формуласы.
Дифференциалданатын функциялардың негізгі қасиеттері.
Ан.
Функцияның туындысы мен аргумент
өсімшесінің көбейтіндісі дифференциалд.а.
ж/е мына түрде жазады:
.
Ан. f(x) функциясы x нүктесінде дифференциалданады, егер оның осы нүктеде дифференциалы болса. Егер f(x) функциясы дифференциалданатын болса, онда ол міндетті түрде үзіліссіз болады.
Дифференциалдың қасиеттері:
Негізігі элементар функциялардың туындыларын біле тұрып, біз еш қиындықсыз осы функциялардың дифференциалдарының кестесін құрастыра аламыз.
Айталық,
,
,
т.с.с.
Арифметикалық амалдар нәтижелерінің дифференциалдары:
;
;
.
Күрделі функцияның дифференциалы:
Айталық,
ж/е
- үзіліссіз функциялар ж/е олардың
туынддылары:
,
.
Егер
белгілесек, онда
.
Екі жағын dx-ке көбейтеміз:
,
ал
,
олай болса,
.
Бір
айнымалы функция үшін Тейлор формуласы.
Айталық
y=f(x) функциясы бір аралықта анықталған
болып, осы аралықтан алынған х=а
нүктесінде n+1-ші ретке дейін туындылары
бар болсын. Мұндай шарттар орындалғанда
функцияның ролін көпшілік жағдайда
n-ші дәрежелі көпмүшелік атқарады Осы
көпмүшелікті мына түрінде
алайық. Бұл көмүшелік пен функцияның
арасында келесі шарттар орындалатын
болсын
Сонғы
(5.26) теңдіктер орындалса, онда (5.25)
көпмүшелік х=а нүктесінің аймағында
y=f(x) функцияны көпмүшелікпен алмастыруға
болады.
Көпмүшеліктің С0 , C1 , C2 …, Cn коэффициенттерін, (5.26) теңдіктерін пайдаланып, анықтайық. Ол үшін (5.25) көпмүшеліктің туындыларын табайық:
Егер (5.26) теңдіктерін пайдалансақ
Осы
теңдіктерден аталған коэффициенттерді
табамыз:
Осы
коэффициенттерді (5.28) формулаға қойсақ
формула анықталады.
Rn(x) арқылы f(x) функция мен Pn(x) көпмүшеліктін айырмасын белгілесек
белгілесек,
мұнда C=a+
(x+a),
0<
<1
онда
Осы
формуланы Тейлор формуласы дейді. Мұнда
қалдық мүшені
түрінде жазылады. Егер Тейлор формуласында
а=0 деп алсақ, онда
(5.30) Бұл формуланы Маклорен формуласы
деп айталады.
Тейлор формуласын қолдану мысалдар
1)
функциясы берілсін.
Бұл
функцияның
==
онда
Енді
Маклорен формуласын пайдалансақ
Маклорен
формуласы арқылы
мұнда
3) f(x)=cosx, онда Маклорен формуласын пайдланып анықтаймыз
Мұнда
