1.1 Три аспекта бытия науки: наука как познавательная

деятельность, как социальный институт, как особая сфера

культуры

В литературе существует более двухсот определений науки, рас-

крывающих различные стороны научного процесса. Для обобщения раз-

личных подходов к пониманию сущности науки необходимо рассмот-

реть ее в единстве трёх аспектов:

а) наука как познавательная деятельность,

б) наука как социальный институт,

в) наука как особая сфера культуры.

Наука как познавательная деятельность

Деятельность – это целенаправленная активность. Специфика

научной деятельности заключается в том, что это когнитивная, т.е. по-

знавательная деятельность. Целью данной деятельности является полу-

чение нового научного знания. Чаще всего считается, что целью науки

являются истинные знания, т.е. такие знания, содержание которых соот-

ветствует действительности.

В науке известны три основные модели изображения процесса

научного познания:

1. Эмпиризм,

2. Теоретизм,

3. Проблематизм.

Эмпиризм (Ф. Бэкон) полагает, что научное познание начинается

с фиксации эмпирических данных. Затем выдвигается гипотеза и на её

7

базе формируется теория. Таким образом, процесс познания осуществ-

ляется как движение от единичных фактов к общим положениям.

Теоретизм (Г. Лейбниц, Т. Кун) полагает, что исходным пунктом

научного познания является какая-то общая идея. Затем, на базе этой

общей идеи, объясняются эмпирические данные.

Проблематизм (К. Поппер) полагает, что наука движется от про-

блемы к проблеме. Научная проблема – это существенный вопрос, ответ

на который предполагает получение новой информации.

Наука как социальный институт

В качестве особого социального института наука формируется

лишь в XVII-XVIII вв. Социальные институты предполагают наличие

определенных организаций, формальных структур. Именно в XVII в. по-

являются первые академии наук (в России – в XVIII в.). Начинают выхо-

дить специальные научные журналы.

Функционирование науки в качестве социального института пред-

полагает также наличие специфических моральных норм. Совокупность

этих моральных норм составляет этос науки.

Согласно учению Р. Мертона, этос науки включает в себя следу-

ющие основные ценности (нормы):

1. Универсализм означает объективный характер научного позна-

ния. Научное знание должно соответствовать наблюдениям и ранее удо-

стоверенным научным знаниям. Универсализм предполагает демократи-

ческий и интернациональный характер науки.

2. Коллективизм предполагает, что плоды науки принадлежат

всему обществу. Наука является результатом коллективного творчества.

3. Бескорыстность означает, что главной целью деятельности

ученых является служение истине.

8

4. Организованный скептицизм означает, что профессиональной

обязанностью ученого является обязанность критиковать научные

взгляды своих коллег. Истинный ученый по своей натуре скептик.

Наука как особая сфера культуры

Культура – это все рукотворное, всё, что создано умом и трудом

человека. Она подразделяется на две части:

1. материальная культура;

2. духовная культура.

Наука является областью духовной культуры. Духовная культура

связана с функционированием и развитием идей и ценностей.

Выделяется четыре основные сферы духовной культуры:

1. мораль;

2. искусство;

3. религия;

4. наука.

Мораль предполагает стремление к добру; искусство предполагает

стремление к красоте, гармонии; религия предполагает стремление к

сверхъестественному; наука предполагает стремление к истине.

Наука как сфера культуры взаимодействует со всеми другими

сферами культуры. Она соприкасается с искусством, моралью, филосо-

фией, религией.

Большое значение для понимания специфики науки как формы

культуры имеет идея К.Поппера о трёх мирах:

1. Первый мир – это реальность, существующая объективно (при-

рода и общество).

2. Второй мир – это состояния человеческого сознания (мысли,

чувства, настроения, интересы и т.д.).

9

3. Третий мир – это мир объективного содержания мышления. В

него входят научные идеи, художественные произведения, мо-

ральные, религиозные, эстетические ценности.

Третий мир является продуктом человеческой деятельности. Но в

то же время третий мир относительно автономен и независим от челове-

ка. Результаты деятельности человека начинают вести самостоятельную

жизнь. С научными теориями происходит то же, что и с нашими детьми.

Они становятся в значительной степени независимыми от своих родите-

лей. Третий мир возможен только на базе существования языка. Науч-

ные идеи облекаются языковыми формами. Поэтому третий мир – это в

значительной степени лингвистический мир. Третий мир способен к

бесконечному прогрессу, так как человек с помощью языка постоянно

творит новые идеи, понятия, ценности.

3

Теория чисел

Одним из основных источников ранних представлений о бесконечности были натуральные числа и потенциальная бесконечность натурального ряда. Одним из первых нетривиальных результатов о бесконечности в теории чисел считается доказательство от противного бесконечности множества простых чисел в «Началах» Евклида: предполагая конечность множества простых чисел, прибавляя к их произведению единицу вновь получается простое число. Теоретико-числовое суждение о бесконечности представляет парадокс Галилея: каждому числу может быть сопоставлен его квадрат, то есть, квадратов не меньше, чем всех чисел, но при этом не из каждого числа можно извлечь корень, то есть, квадраты — только часть множества всех чисел^[5].

В теории чисел не требуется применение какой-либо абстракции актуальной бесконечности, тем не менее, многие её задачи связаны с формулировкой условий бесконечности, например, по состоянию на 2013 год являются открытыми проблемами вопросы о бесконечности множества простых чисел, по модулю которых заданное целое число является первообразным корнем (гипотеза Артина), бесконечности множества простых чисел-близнецов, бесконечности для всякого чётного числа множества пар соседних простых чисел, разность между которыми равна ему (гипотеза Полиньяка), бесконечности множества совершенных чисел.

Бесконечные ряды

Парабола Архимеда

Первое свидетельство применения бесконечного ряда обнаруживается у Архимеда в «Квадратуре параболы», где для доказательства утверждения о соотношении 4:3 площадей сегмента, заключённого между прямой и параболой, и треугольника, имеющего с ним то же основание и равную высоту, он суммирует бесконечный ряд:

,

и затем перепроверяет результат методом от противного^[6].

В 1340-е годы Суайнсхед впервые находит сумму бесконечного ряда, не являющегося простой убывающей геометрической прогрессией:

.

Также в XIV веке с бесконечными рядами работает Орем, используя ясные геометрические доказательства, он получает суммы достаточно нетривиальных числовых рядов, находит (без доказательства) формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии и доказывает расходимость гармонического ряда^[6].

В XVI веке, используя результаты Орема, Томаш^[de] находит суммы некоторых бесконечных прогрессий, образованных сложными законами^[6]. В Индии в XV веке были получены разложения тригонометрических функций в бесконечные степенные ряды^[6], наиболее значительный вклад внёс Мадхава из Сангамаграмы (малаял. സംഗമഗ്രാമമാധവൻ)^[7].

Менголи (итал. Pietro Mengoli) в трактате, опубликованном в 1650 году устанавливает ряд важных свойств рядов, вводит понятие остатка ряда, тем самым неявно рассматривая ряды как целостные объекты, а также доказывает расходимость обобщённого гармонического ряда^[8]. Меркатор в 1668 году открывает разложение логарифмической функции в степенной ряд^[9], а в 1667 году Грегори — разложения тригонометрических функций, и, наконец, Тейлор, обобщая результаты Меркатора, Грегори, а также Ньютона, в 1715 году показывает возможность разложить в бесконечный ряд любую аналитическую функцию в заданной точке, тем самым установив возможность представления значений обширного класса функций бесконечными суммами.

Исчисление бесконечно малых

Хотя метод исчерпывания, известный со времён античности, и метод неделимых, сформулированный Кавальери в 1635 году, в той или иной мере используют сведение к бесконечно малым величинам, первые попытки алгебраизации операций с бесконечно малыми были сделаны Валлисом, Барроу и Грегори в середине XVII века, в явном виде математическая абстракция инфинитезималей была создана в 1680-е годы практически одновременно Ньютоном в его «методе флюксий» (бесконечно малых приращений) и Лейбницем (определившим дифференциал)^[4].

Строгие определения бесконечно малых с использованием понятий предела, сходимости и непрерывности даны в XIX веке Коши и Вейерштрассом, наиболее традиционной в этих определениях стала так называемая -формулировка^[en] (например, считается пределом по Коши функции в точке , если для любого найдётся , что выполняется при любых , удовлетворяющих условию , выполнено ). В более поздних определениях бесконечно малых используется техника окрестностей — открытых подмножеств (Гейне), которые естественным образом обобщены в общей топологии (абстрагирующей понятие открытого множества).

В нестандартном анализе Робинсона (1960-е годы) бесконечно малые вводятся как вид обобщённых чисел, не превосходящих для любого , класс всех таких чисел актуализируется «монадой нуля» ^[10].

Математический анализ

В математическом анализе, созданном на фундаменте исчисления бесконечно малых^[⇨], вводится явно и абстракция бесконечно больших величин: ко множеству действительных чисел добавляются два символа и (строится расширенная числовая прямая ), применяющиеся для определения граничных значений и сходимости, в анализе с этими символами хотя и возможно оперировать (здесь  — действительное число):

,

,

,

,

,

,

однако с некоторыми ограничениями: при возникновении неопределенных ситуаций (всего их 7)

применяются правила раскрытия неопределённостей (например, правило Лопиталя) по принципу выяснения содержания предельного выражения, приведшего к появлению бесконечности, то есть, в этом смысле в анализе символы используются как обобщённое сокращение для записи предельных выражений, но не как полноценный объект.

В нестандартном анализе Робинсона бесконечно большие и бесконечно малые величины актуализируются с привлечением теоретико-модельных средств, причём выразительные средства и методы доказательств благодаря этому в нестандартном анализе во многих случаях выигрывают перед классическими, и получен ряд новых результатов, которые могли бы быть получены и в классическом анализе, но не были обнаружены из-за недостатка наглядности^[11].

Проективная геометрия

Важным в актуализации представлений о бесконечности в математике стало создание Понселе в 1822 году проективной геометрии, одной из ключевых идей которой является сворачивание при проектировании бесконечно удалённого в «идеальные точки» и «идеальные прямые». Так, чтобы превратить бесконечную плоскость в евклидовом пространстве в проективную плоскость необходимо для каждого класса параллельных прямых добавить идеальную точку^[en], и все эти идеальные точки (и только они) сворачиваются в идеальную прямую^[en]. Действительная проективная прямая в этих построениях — расширение числовой прямой идеальной точкой ( ).

Так же, как и в анализе^[⇨], с полученной бесконечностью в проективной геометрии можно оперировать (в проективной геометрии, в отличие от анализа, бесконечность не имеет знака, ):

,

,

,

,

,

,

но при этом выражения не определены.

Создавая геометрическую интерпретацию комплексных чисел Риман в 1851 году воспользовался средствами проективной геометрии, и для комплексной плоскости построил проективное пространство  — комплексное обобщение числовой проективной прямой, известное как сфера Римана: полюсы сферы — точки и , а стереографическая проекция (с выколотой точкой ) переводит её в комплексную плоскость. В отличие от вещественного анализа, где используется бесконечность со знаком, в комплексном анализе используется именно проективная форма бесконечности ( ).

Теория множеств

Основной вклад в представление о бесконечности в математике внесён теорией множеств: идея актуальной бесконечности и разных сортов бесконечности занимают существенную часть этой теории.

Для измерения разных видов бесконечности в теории множеств вводится понятие мощности (кардинального числа), совпадающее с количеством элементов для конечных множеств, а для бесконечных множеств задействующее принцип биекции: если между множествами возможно установить взаимно-однозначное соответствие, то они равномощны. Так, оказывается, что множество натуральных чисел равномощно множествам целых чисел ( ), чётных натуральных чисел, всех рациональных чисел ( ), а отрезок числовой прямой ( , континуум^[⇨]) оказывается в биективном соответствии со всей числовой прямой ( ), а также с -мерным евклидовым пространством ( ). Мощность множества натуральных чисел и равномощных ему (счётных множеств)^[⇨] обозначается , а мощность континуума — . Далее, установлено, что между множеством всех подмножеств натуральных чисел ( ) и континуумом есть взаимно-однозначное соответствие, таким образом, , и что счётное множество — наименьшее по мощности из всех бесконечных множеств. Согласно континуум-гипотезе, между и нет промежуточных мощностей ( ), притом, как показал Коэн в 1962 году, ни она, ни её отрицание недоказуемы в основных аксиоматиках теории множеств. Обобщённая континуум-гипотеза предполагает, что все кардинальные числа подчиняются соотношению , иными словами, все возможные бесконечные кардинальные числа в точности представляют мощности последовательного взятия булеана от множества натуральных чисел: ^[12].

Представление порядковых чисел до : каждый виток спирали — степень

Другой вид бесконечностей, введённый теорией множеств — порядковые числа (ординалы), наряду со связанным с ними принципом трансфинитной индукции они вызвали наибольшие дискуссии в среде математиков, логиков и философов. Если кардинальные числа характеризуют класс эквивалентности относительно взаимно-однозначного соответствия, то порядковое число возникает как характеристика класса эквивалентности над вполне упорядоченными множествами, относительно биективных соответствий, сохраняющих отношение полного порядка. Для конечных множеств ординал и кардинал совпадают, но для бесконечных множеств это не всегда так, все множества одного порядкового числа равномощны, но обратное, в общем случае, неверно. Конструируются ординалы таким образом, чтобы последовательно продолжить натуральный ряд за пределы бесконечности^[13]:

,

,

…

,

после чего, рассмотрев множество всех конечных порядковых чисел как , вводится арифметика порядковых чисел^[en] на базе операций сложения упорядоченных множеств (введением порядка над раздельным объединением последовательно по элементам первого слагаемого множества, потом второго) и произведения (над декартовым произведением вполне упорядоченных множеств с использованием лексикографического порядка), и продолжается процесс:

,

,

…

,

,

…

Далее строится , далее — , далее — -числа^[en]:

.

Доказано, что множество всех счётных ординалов (всех и ) обладает мощностью  — следующей за мощностью счётного множества , далее строятся ординалы высших порядков. Трансфинитная индукция — обобщение принципа математической индукции, позволяющий доказывать утверждения относительно любого вполне упорядоченного множества с использованием идеи порядковых чисел. Парадокс Бурали-Форти показывает, что множество всех порядковых чисел противоречиво, но во многих аксиоматизациях теории множеств построение такого множества запрещено.

3

Идейным ядром логического позитивизма (неопозитивизма) стала группа философов и учёных, сформированная и организованная профессором Морицом Шликом при кафедре индуктивных наук Венского университета в 1922 или 1924 году, которая получила название «Венский кружок».

Логический позитивизм ещё часто называют логическим эмпиризмом. Он имеет своим предшественником Дэвида Юма, который отвергал претензии на знание таких метафизических вопросов, как существование Бога и бессмертие души, так как идеи, на которых эти претензии основываются, не могут быть прослежены к простым чувственным впечатлениям, являющимися их источником. Таким же образом члены Венского кружка отвергали как бессмысленные любые утверждения, которые не проверяемы эмпирически. Посредством этого критерия верифицируемости они считали, что метафизические утверждения бессмысленны.

В манифесте Венского кружка было записано: «Если кто-либо утверждает: „Существует Бог“, „Первоначальной причиной мира есть бессознательное“, „Существует энтелехия, которая является основой жизни существ“, то мы не должны говорить: „То, что вы говорите, ошибочно“, а должны скорее спросить: „Что вы имеете в виду под этими предложениями?“ По-видимому, существует четкое разделение между двумя типами утверждений. Один из типов включает утверждения в том виде, как они высказаны в эмпирической науке, их значение может быть определено логическим анализом, или, более точно, сведением к простым предложениям об эмпирически данном. Другие утверждения, включая вышеупомянутые утверждения, оказываются полностью бессмысленными, если мы берем в том смысле, в котором использует их метафизик».^[2]

Можно выделить два исторических корня логического позитивизма. Так в своей программной статье «Поворот в философии» немецко-австрийский философ Мориц Шлик представил генетическую линию развития от Лейбница до Б.Рассела и Г.Фреге. Сама идея «Венского кружка» была инициирована «Principia Mathematica» Рассела и Уайтхеда. Основанием и развитием логики формальных отношений была заложена основа для будущей грандиозной эпистемологической реформы. Став вторым после аристотелевской классической логики силлогизмов инструментом познания, математическая логика послужила материалом строительства здания новой единой науки (своего рода Нового Органона Наук). Успехи, достигнутые в логике, убеждали в силе рациональных процедур мышления, заставляли верить в скорое и неизбежное слияние наук (при доминировании физики, биологии и математики). Отсюда пошло и название — «позитивизм». Задача, поставленная перед «венцами» — разработка системы критериев оценки качества теоретического вывода. Поэтому самое распространенное понимание позитивизма этого времени — это тезис единства метода.

Другое родовое понятие позитивизма — это система языка. Шлик считал, что Л. Витгенштейн был «первым, кто приблизился» к идеям позитивной науки в 1922 году в «Логико-философском трактате» (смотри далее).

Новая методология проводила активный отбор пригодного научного знания и начала с атак на метафизику. „Философия — это не наука“ — утверждал М. Шлик. Требование заменить содержательность как сверхзадачу формальностью стало важным этапом освобождения научного метода от химер и мистификаций обыденного сознания, что напомнило борьбу Бэкона с идолами. В целом 30−40-е годы XX века европейская наука встретила в жарких спорах при общей победе рационализма. Наука, воодушевленная успехами естествознания и объяснявшая этот прорыв совершенством метода, предприняла попытку восстановить единое знание о мире и природе. „Набрав сил, огонь познания охватывает и остальное. Эти моменты свершения и горения — самое существенное. Весь свет познания идет от них. Поисками источника этого света философ на самом деле и занят, когда он ищет последний фундамент познания“^[3].