Глава I. Фракталы. Основные понятия

Первым, примерно в 1920 г., многомасштабность установил английский математик Ричардсон. Он обратил внимание, что длины границ государств зависят от того, какой мерной линейкой измерять дли- ну. В 30-х гг. в Польше картографы измеряли длину р. Висла. При этом получили ошеломляющий результат: при уточнении измерений длина реки увеличивалась! Так математики получили задачу, которую отнесли к математическим курьезам, и благополучно забыли. В 70-х гг. туристы обратили внимание, что при измерении периметров Великих Озер в Америке у всех людей получались разные результаты. Так природа в третий раз продемонстрировала, что длина природной линии зависит от масштаба измерения.

Для евклидовых объектов длина ломаной практически не зависит от линейки и имеет вполне определенный предел при ее измельчении:

(1)

Этот предел и называется длиной данной кривой.

Для природной извилистой линии (например, береговой) измеренная длина неограниченно возрастает при увеличении масштаба:

(2)

Рис.1 Измерение длины береговой линии. Зависимость результата от линейки (эффект Ричардсона)

Для природных объектов в общем случае длина зависит от масштаба рассмотрения. Эта зависимость носит степенной характер (т.е. показывает самоподобие).

Б. Мандельброт в 60-х года XX-го столетия ввел понятие фрактальной геометрии, определяя фрактал, как структуру, состоящую из частей, которые в каком-то смысле подобны целому.

, где D – размерность (3)

Таким образом, число масштабов степенным образом зависит от масштаба измерения, а степенной показатель оказывается фрактальной размерностью рассматриваемого объекта. При этом, чем меньше масштаб, тем больше требуется число масштабов.

, (4)

Это знаменитая формула Мандельброта, с которой и началось становление фрактальной геометрии. Аналогичное соотношение для границ государств в 1920 г. установил Ричардсон, поэтому часто формулу, отдавая дань исторической справедливости, называют законом Мандельброта – Ричардсона.

1. Фракталы

Фрактал – термин, введённый Бенуа Мандельбротом в 1975 году. До сих пор нет строгого математического определения фрактальных множеств. Свой фундаментальный труд Мандельброт выполнил в жанре эссе, как бы давая читателям простор для фантазии и позволив им соучаствовать в процессе разработки теории и её приложений. Заслуга Мандельброта в том, что он смог обобщить и систематезировать «неприятные» множества и построить красивую и интуитивно понятную теорию. Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в некотором смысле подобны целому. То есть такое множество, размерность Хаусдорфа–Безиковича которого строго больше его топологической размерности.Примером такого объекта может служить кривая Коха, которая образуется из отрезка прямой последовательной заменой каждого прямолинейного участка на ломаную линию, канторовская пыль, ломаная и снежинка Коха, ковер и губка Серпинского. ¹

Все фракталы можно разделить на несколько групп:

Однако существуют и другие классификации:

Рукотворные и природные.

К рукотворным относятся те фракталы, которые были придуманы учёными, они при любом масштабе обладают фрактальными свойствами. На природные фракталы накладывается ограничение на область существования — то есть максимальный и минимальный размер, при которых у объекта наблюдаются фрактальные свойства.

- Детерминированные (алгебраические и геометрические) и недетерминированные (стохастические).