25. Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных. Дифференциалы высших порядков. Матрица Гессе.

Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных. Дифференциалы высших порядков. Матрица Гессе.

Частные производные и называют частными производными первого порядка. Их можно рассматривать как функции от . Эти функции могут иметь частные производные, которые называются частными производными второго порядка. Они определяются и обозначаются следующим образом:

Аналогично определяются частные производные 3-го, 4-го и т.д. порядков.

Так .

Частная производная второго и более высокого порядков, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной.

Теорема. Если частные производные высшего порядка непрерывны, то смешанные производные одного порядка, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой.

Пусть функция z = f(x;y) имеет непрерывные частные производные второго порядка. Дифференциал второго порядка определяется по формуле . Найдем его:

.

Символически это записывается так:

.

Аналогично можно получить формулу для дифференциала 3-го порядка.

Методом мат. Индукции можно показать, что:

, где .

Полученные формулы справедливы лишь если x и y – независимые переменные.

Матрица Гессе имеет вид:

26. Формула Тейлора для функции нескольких переменных.

u=f(M), k+1-раз. дифф в опр. т. М₀€[М]

└→(R_k+1(N))

N отр М₀М, u=f(M), k-1 раз.дифф. в окр. k раз дифф в т. М₀.

;

27. Локальный экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточные условия экстремума.

u=f(M)=f(x₁,x₂,_..,x_n) опред. в окр. т.М₀ (x₁⁰,x₂⁰,_..,x_n⁰).

Опр. Ф-ция u=f(M) имеет в т. М₀ локальный максимум (мин.), если сущ. такая окр. в т. М₀ в кот.при ММ₀ выполняется след. нер-во: f(M)<f(M₀), (f(M)>f(M₀)).

∆u=f(M)-f(M₀)<0, если М₀ т.локал. мах.; ∆u>0, если М₀ т.локал. мin.

Теор.(необход.усл.экстремума).

Если ф-ция u=f(M) дифф. в т.М₀ и М₀ – т.лок. max (min), то в этой точке:

Д ок-во: док-ем, что , u=f(x₁,x₂,_..,x_n)

x₂=x₂⁰, М₀ (x₁⁰,x₂⁰,_..,x_n⁰).

x₃=x₃⁰,..

x_n=x_n⁰.

u=f(x₁⁰,x₂⁰,_..,x_n⁰) – имеет лок. экстремум в т.М₀ → .

Точка в кот. все частные призвод. u=f(M) – стационарн., таким обр. точками возможен. экстремума дифф. экстремума явл. стационар. т., но в стационар. т. ф-ция может и не иметь экстремума.

u=xy², u_x’=y²=0; u_y’=2xy=0; M(0,0) стационар., но не явл. т.экстремума.

∆u=u(M)-u(M₀)= xy²>(<)0

Кроме того, лок. экстр. ф-ция может иметь в т., в кот. она не дифф.:

z=1-√x²+y²; z_x’=x/√x²+y²; z_y’=y/√x²+y²; z(0,0)=1; z(∆x,∆y)<1

Теор.(Дост. усл. сущ. т. лок. экстр.)

Пусть u=f(u) дважды непр. дифф. в некот. окр.т.M₀ и т.M₀ – стационар.т., u=f(M) (df(M₀)=0), тогда если для любых dx₁,dx₂,..dx_n не равных одновременно 0:

d²f(M₀)>0, то т.M₀-т.лок.min; d²f(M₀)<0, то т.M₀-т.лок.max;

Д-во: f(M)=f(M₀)+df(M₀)/1!+d²f(N)/2!., ∆f(M₀)=f(M)-f(M₀)=df(M₀)+d²f(N)/2!.

u=f(M) – дважды непр. дифф., d²f(M₀)>0→d²f(N)>0; d²f(M₀)<0→d²f(N)<0;→ ∆f(M₀)>0→

M₀ – т.лок. min; M₀ – т.лок. max;

1. d²f(M₀)>0↔a₁₁>0,

2. d²f(M₀)<0↔a₁₁<0,

Если d²f(M₀) представляет собой закономерную квадрат. форму, то в т. M₀ экстремума не будет. Если 2-ой дифф. представляет собой квадр. форму

Q(dx₁,dx₂,..dx_n)>0 то полож.опр.

Q(dx₁,dx₂,..dx_n)≥0 то казизнакополож.опр

х₁²+2х₁²х₂²+х₂²+(х₁+х₁)²≥0; х₁=-х₂.