П3.3 Пример исследования моделей
Анализ описанных выше моделей (1) и (2) выполняется при допущении, что все параметры и коэффициенты положительны (некоторые в частных случаях принимаются равными нулю) и не зависят от времени. Исследование систем уравнений начинаем с определения точек стационарных состояний, их типа и устойчивости. Модель (1) в общем случае имеет три особые точки, координаты которых определяются формулами:
(3)
(4)
(5)
В
частном случае, при
,
в системе могут быть две особые точки.
Тип и устойчивость точек определяется,
как обычно, характеристическим уравнением
для линеаризованной в окрестности этих
точек системы.
Система (1) диссипативна при условии:
,
которое выполняется всегда при положительных а и с. Следовательно, имеется предположение о возможности существования гетероклинических контуров, определяющих вид траекторий в фазовом пространстве.
Уравнения
(1) и (2) исследовались численно методом
Рунге-Кутта с переменным шагом и точностью
.
Зафиксируем
константы модели (1), как указано в табл.1.
Рассматривая коэффициенты d,
e,
f,
k,
l,
m,
n
в качестве бифуркационных параметров,
можем обнаружить все основные виды
решений, характерных для трехмерных
автономных нелинейных систем: стационарное
состояние, предельный цикл, хаотический
аттрактор и другие типы циклов различной
периодичности. Например, на рис.2 и 3
представлены хаотический аттрактор, а
также циклы типа
и
(в терминологии, принятой в работе [4]).
Таблица 1
Параметры модели макросистемы
a |
b |
c |
d |
e |
f |
g |
0.2 |
2.5 |
0.3 |
4 |
1.535 |
20 |
100 |
k |
l |
m |
n |
X |
Y |
Z |
1 |
0 |
0 |
0 |
50 |
50 |
100 |
а
б |
в |
Рис.2. Проекции хаотического аттрактора (параметры соответствуют табл.1)
в координатах: а – z(y); б – x(z)
|
|
а б
Рис.3. Циклы типа
и
при d = 2, e
= 0.5, k = m
= 0.5, l = n
= 1
(остальные параметры как в табл.1): а – f = 21; б – f = 10
Предположение о возможности существования гетероклинического контура косвенно подтверждается видом аттрактора (рис.4), полученного в системе (1) с параметрами, заданными в табл.2. На рис.4, б приведена зависимость z(t), которая свидетельствует о существовании так называемых контрастных структур и пограничного слоя [5] в решениях модели. Эти особенности являются неслучайными, так как при заданных в табл.2 параметрах система стремится к сингулярно возмущенной задаче, что и является, по-видимому, источником подобных эффектов. Зависимость z(t) весьма напоминает при этом некоторую стратегию управления запасами, что придает модели (1) практическую привлекательность.
Таблица 2