2. Вычисление поверхностного интеграла II рода

Пусть функция непрерывна во всех точках поверхности , заданной уравнение , где – непрерывная функция в замкнутой области (или ) – проекции поверхности на плоскость .

Выберем ту сторону поверхности , где нормаль к ней образует с осью острый угол, тогда ( ).

Так как , то интегральная сумма (12) может быть записана в виде:

. (13)

Правая часть равенства (13) является интегральной суммой для функции , непрерывной в области . Переходя к пределу при , получаем:

, (14)

выражающую поверхностный интеграл II рода по переменным и через двойной интеграл. Если выбрать нижнюю сторону поверхности , то полученный интеграл берут со знаком "минус", то есть:

. (15)

Аналогично, , (16)

, (17)

где и – проекции поверхности на плоскости и соответственно (замкнутые области).

В формуле (16) поверхность задана уравнением , в формуле (17) – уравнением . Знак перед интегралами выбирается в зависимости от ориентации поверхности ( например, в формуле (16) знак "плюс" выбирается, если нормаль к поверхности образует с осью острый угол).

Для вычисления общего поверхностного интеграла II рода используют формулы (15) - (17), проектируя поверхность на все координатные плоскости:

. (18)

Можно показать, что справедливы равенства:

, (19)

где – элемент площади поверхности ; , , – направляющие косинусы нормали к выбранной стороне поверхности .

Поверхностные интегралы I и II рода связаны соотношением:

. (20)

Пример 5. Вычислить по верхней стороне части плоскости , лежащей в IV октанте.

Решение. Построим плоскость , для чего преобразуем общее уравнение плоскости к уравнению в отрезках ( см. рис.9 а)): . Будем вычислять каждый из слагаемых интегралов отдельно.

Найдем направляющие косинусы нормального вектора плоскости:

, ; ; .

Проанализировав полученный результат, получаем, что нормаль , соответствующая указанной по условию стороне поверхности, образует с осью тупой угол, а с осями , – острые. Поэтому перед двойными интегралами в формулах (15) и (17) выбираем знак "плюс", а в формуле (16) – знак "минус".

Для вычисления интеграла по формуле (15) выразим через переменные и из уравнения плоскости: . Определим границы замкнутой области , то есть уравнения сторон треугольника ( см. рис.9 б)):

: , ; : ; : .

Тогда,

.

Для вычисления интеграла по формуле (16) определим границы замкнутой области , то есть уравнения сторон треугольника ( см. рис.9 в)):

: , ; : ; : .

Тогда, .

Для вычисления интеграла по формуле (17) определим границы замкнутой области , то есть уравнения сторон треугольника ( см. рис.9 г)):

: , ; : ; : .

Тогда, .

Таким образом, .

Ответ: .