3.3 Максимизация прибыли
Пусть Q – количество реализованного товара, R(Q) – функция дохода, С(Q) – функция затрат на производство товара. В реальности вид этих функций зависит в первую очередь от способа производства, организации инфраструктуры и т.п. Прибыль от реализации произведённого товара рассчитывается по формуле
В
микроэкономике известно утверждение:
для того чтобы прибыль была максимальной,
необходимо, чтобы предельный доход и
предельные издержки были равны. То есть
это равенство имеет вид
И действительно, так как необходимым условием экстремума функции, служит равенство нулю её производной, то в нашем случае получаем:
П’(Q)=R’(Q)-C’(Q)
П’(Q)=0 => R’(Q)-C’(Q)=0 => R’(Q)=C’(Q).
Пример. Найти максимальный размер прибыли, если доход и издержки определяются следующими формулами:
Решение. Так как П(Q)=R(Q)-C(Q) , то
П(Q)= -Q3+36Q2-69Q-4000. (1)
Найдем
производную этой функции П’(Q)=
-3Q2+72Q-69,
и приравняем её к нулю П’(Q)=0
=>
откуда находим корни уравнения Q1=1,
Q2=23.
подставив значения Q1
и
Q2
в
уравнение (1) находим, что максимальная
прибыль достигает при Q=23
и равна Пmax=1290.
3.4 Закон убывающей эффективности производства
Закон убывающей эффективности производства утверждает, что при увеличении одного из основных факторов производства, например капитальных затрат К, прирост производства начиная с некоторого значения К является убывающей функцией. Иными словами, объём произведенной продукции V как функция от К описывается графиком со сменой выпуклости вниз на выпуклость вверх. Пример. Пусть эта функция даётся уравнением
где b и c – известные положительные числа (они определяются прежде всего структурой организации производства), а V0 – предельно возможный объём выпускаемой продукции. Найдем вторую производную этой функции
Найдём критическую точку (точку перегиба) из условия V"(К)=0, получаем
График этой функции приведён на рисунке 1. В точке перегиба выпуклость графика функции вниз меняется на выпуклость вверх. До этой точки увеличение капитальных затрат приводи к интенсивному росту объёма продукции: темп прироста объёма продукции возрастает, от есть V"(К)>0. При К>Ккр темп прироста объёма выпускаемой продукции снижается, то есть V"(К)<0, и эффективность увеличения капитальных затрат падает.
Таким образом, в стратегии капиталовложений оказывается очень важным моментом определение критического объёма затрат, сверх которого дополнительные затраты будут приводить всё к меньшей отдаче при данной структуре организации производства. Зная этот прогноз, можно пытаться совершенствовать и менять структуру организации производства: "улучшать" показатели b, с и V0 в сторону повышения эффективности капиталовложений.
Вывод
Дифференциальное исчисление незаменимо при планировании производственной деятельности предприятия, и помогает находить наиболее оптимальный путь развития, максимально сокращать издержки производства, а также решать ещё ряд необходимых задач по осуществлению производственной деятельности. Этот материал актуален для моей будущей профессии, так как от того, как я рассчитаю расходы денежных средств, я смогу рациональнее их использовать, что приведет к экономии, а это главная задача для финансиста.
1