3.Определение комплексных чисел и действий с ними.

Определение 1. Символ i= будем называть мнимой единицей.

Следуя определению находим, что i²= -1.

Введение мнимой единицы позволяет извлекать квадратные корни из отрицательных чисел.

Пример:

= = =6i

Рассмотрим степени мнимой единицы:

i¹=i,

i²= -1,

i³= i² i=(-1)i= -i,

i⁴= i³ i= -ii=1, ...... далее значения степеней начнут повторяться.

Т.е. если выписывать все значения степеней числа i подряд, то получим последовательность: i, -1, -i, 1, i, -1, -i, 1....... и т.д.

Определение 2. Выражения вида z=a+bi, где a и b-действительные числа, i-мнимая единица, будем называть комплексными числами.

a - действительная часть числа z

b - мнимая часть числа z,

z=a+bi-алгебраическая форма комплексного числа z.

Определение 3. Два комплексных числа z=a+bi, z=c+di условимся считать равными тогда и только тогда, когда в отдельности равны их действительные и мнимые части.

Определение 4. Суммой комплексных чисел z₁=a+bi, z₂=c+di называют комплексное число z= (a+c)+ (b+d)i.

Определение 5. Разностью комплексных чисел a+bi, z₂=c+di называют комплексное числo z= (a-c)+ (b-d)i .

Определение 6. Произведением комплексных чисел z₁=a+bi, z₂=c+di называют комплексное число z=(ac-bd)+(ad+bc)i.

Замечание: на практике нет нужды пользоваться формулой произведения. Можно перемножать данные числа как двучлены, а потом учитывать, что

i²= -1.

Определение 7. Два комплексных числа называются сопряженными, если они отличаются друг от друга только знаками перед мнимой частью.

Пример:

25+3i и 25-3i – сопряженные комплексные числа

Чтобы выполнить деление, произведем дополнительное действие:

умножим делимое и делитель на комплексное число, сопряженное делителю

= * = = =

4. Геометрическая интерпретация комплексного числа.

Сначала вспомним «обычные» школьные числа. В математике они называются множеством действительных чисел и обозначаются буквой   (в литературе, рукописях заглавную букву «эр» пишут жирной либо утолщённой). Все действительные числа сидят на знакомой числовой прямой:

Компания действительных чисел очень пёстрая – здесь и целые числа, и дроби, и иррациональные числа. При этом каждой точке числовой обязательно соответствует некоторое действительное число.

Комплексное число z=a+bi можно изобразить точкой Z плоскости с координатами (a, b).

Для этого выберем на плоскости декартову систему координат.

Действительные числа изображаются точками оси абсцисс. Чисто мнимые числа, т.е. числа вида bi (b0), изображаются точками оси ординат.

Существует другой способ геометрической интерпретации комплексных чисел. Каждой точке плоскости с координатами (а, b) соответствует один и только один вектор с началом О(0, 0) и концом Z(a, b).

Поэтому комплексное число z=a+bi можно изобразить в виде вектора с началом в точке О(0, 0) и концом в точке Z(a, b). Очевидно, что при таком изображении: сопряженные комплексные числа изображаются точками, симметричными относительно оси абсцисс.