Дифракция на непрозрачном диске

П усть сферическая волна, распространяющаяся от точечного источника , встречает на своем пути непрозрачный диск, рис.54. С точки зрения представлений о прямолинейном распространении света в точке тогда должна наблюдаться резко очерченная тень от этого диска. Френель, однако, на опыте показал, свет в этом случае создает тень от диска, в центре которой наблюдается светлое пятно.

Воспользуемся методом зон Френеля. В данном случае закрытый диском участок волнового фронта надо исключить из рассмотрения, и зоны строить, начиная с краев диска.

Пусть диск закрывает первых зон Френеля. Тогда амплитуда результирующего колебания в точке будет равна:

Или, окончательно, с учетом того, что :

Следовательно, в точке всегда наблюдается интерференционный максимум (светлое пятно), соответствующее половине действия первой открытой зоны Френеля. Центральный максимум будет окружен концентрическими с ним темными и светлыми полосами, а интенсивность максимумов убывает с расстоянием от центра картины.

Зонная пластинка

Хорошей иллюстрацией, подтверждающей положения теории дифракции Френеля, может служить опыт с зонной пластинкой. Радиус -ой зоны Френеля, как мы определили равен:

Приготовим экран, состоящий из последовательно чередующихся прозрачных и непрозрачных концентрических колец, радиус которых рассчитаем по этой формуле. Для этой цели можно, например, начертить в крупном масштабе соответствующий рисунок и уменьшить его в виде фотографической копии до желательного размера (или сфотографировать картину колец Ньютона). Полученный таким образом экран называется зонной пластинкой.

Если поместить зонную пластинку в соответствующем месте сферической волны, т.е. расположить на расстоянии от точечного источника и на расстоянии R от точки наблюдения на линии, соединяющей эти две точки, то для света длиной волны наша пластинка прикроет все четные зоны и оставит свободными все нечетные, начиная с центральной, рис.55 (а).

Волновой фронт, профильтрованный через зонную пластинку, расположенную таким образом, должен давать в точке результирующую амплитуду, выражаемую соотношением:

т.е. значительно большую, чем при полностью открытом фронте. Аналогичным образом можно перекрыть нечетные зоны, рис.55 (б), и также получить эффект усиления освещенности в точке . До точки в том и другом случае дойдет больше света, чем без зонной пластинки. Опыт полностью подтверждает это заключение: зонная пластинка увеличивает освещенность в точке Р, действуя подобно собирающей линзе.

Можно достичь еще большей яркости изображения, если не задерживать колебания, приходящие в точку в противофазе к выбранным, а сообщать им изменение фазы на . Такую фазовую зонную пластинку изготовил . Вуд, покрыв стекло тонким слоем лака и выгравировав на нем зонную пластинку так, что оптическая толщина нечетных зон отличалась от толщины четных на .

Графическое вычисление результирующей амплитуды

Р ассмотрение вопроса о действии световой волны в точке (см.рис.53), равно как и многих других аналогичных вопросов, чрезвычайно удобно производить, пользуясь графическим методом сложения колебаний, обладающих некоторой разностью фаз. Для того, чтобы графически изобразить действие целой зоны, следует разбить ее на равные участки, столь малые, что фаза колебаний, вызываемых в точке различными воображаемыми источниками такого участка, практически могла считаться постоянной. Тогда действие всего участка можно выразить вектором, длина которого дает суммарную амплитуду, а направление определяет фазу, обуславливаемую этим участком. Действие соседнего участка можно выразить вторым вектором, несколько повернутым относительно первого, так как фаза, определяемая совокупностью источников второго участка, будет немного отличаться от фазы, задаваемой первым участком. По длине же этот вектор практически не будет отличаться от первого, так как амплитуда колебаний, вызываемого равновеликими участками фронта волны, отличается только вследствие изменения наклона фронта волны к линии, проведенной к точке , а для двух соседних участков это изменение ничтожно мало. Даже при переходе от одной зоны к следующей действие изменения наклона, как мы видели, весьма незначительно. Таким образом, векторная диаграмма, определяющая действие ряда участков, изобразится ломаной, представленной на рис.56.

Здесь для определенности мы предполагали, что зона разбита на 8 элементарных участков. Если разбить зону на бесконечно большое число бесконечно малых участков, то ломаная линия обратится в дугу, которая лишь очень незначительно будет отличаться от полуокружности. При этом вектор, касательный к дуге в точке , будет иметь направление, прямо противоположное направлению соответствующего вектора вблизи точки , так как фаза колебания в , обусловленного действием последнего участка зоны, очевидно, противоположны фазе колебаний, излучаемых начальным участком зоны; таким образом, векторную диаграмму действия центральной зоны можно представить рис.57 (а), и результирующую, характеризующую колебание в , вызванное действием одной центральной зоны, - вектором .

Д ля того чтобы учесть действие второй зоны, надо продолжить нашу векторную диаграмму. Тогда мы получим рис.57 (б), причем хорда дуги несколько меньше, чем у дуги , вследствие возрастающего наклона зоны. Продолжая наше построение, получим диаграмму действия всей волны, изображенную на рис.57 (в).

Результирующая, характеризующая действие всего волнового фронта, выражается вектором . Из рис.57 (в) легко видеть, что этот вектор равен примерно половине вектора , представляющего действие центральной зоны, и совпадает с ним по направлению. Другими словами, колебание в точке , обусловленное всем волновым фронтом, совпадает по фазе с колебанием, которое могла бы создать центральная зона, а по амплитуде составляет примерно половину этого колебания. Произведенные рассуждения показывают, что действие (амплитуда), вызванное всем волновым фронтом, примерно равное половине действия центральной зоны, а не действию половины центральной зоны, как нередко утверждают. В самом деле, действие половины центральной зоны выразилось бы вектором , отличающимся от правильно найденного вектора .

Метод графического вычисления результирующей амплитуды часто используется при рассмотрении различных случаев дифракции.

Однако необходимо отметить, что в самом методе расчета Френеля имеются некоторые принципиальные неясности.

Представим себе точечный источник , около которого к некоторому моменту времени образовался сферический фронт волны , рис.58. Для определения амплитуды колебаний в точке , мы должны сложить в точке колебания, приходящие от всех частей волнового фронта. Часть фронта («задняя» часть фронта) при расчете не принимается во внимание. Если мы проведем внешнюю нормаль к волновой поверхности, то по сказанному выше, амплитуда колебаний, приходящих в точку , зависит от значения угла , который составляет направление с нормалью N. Наибольшую амплитуду имеют колебания, приходящие в точку от элемента поверхности, расположенного около точки , где .

Амплитуды колебаний вблизи точек и , где , равны нулю. Равными нулю приходится считать и амплитуды колебаний от всех элементов поверхности, где . Таким образом, не учитываются колебания от «задней» половины волновой поверхности. Это обстоятельство в теории Френеля не обосновано.

Второй недостаток теории Френеля заключается в том, что она дает неправильное значение фазы колебаний в точке . Значение фазы результирующего колебания в точке , найденное путем графического сложения колебаний, приходящих от отдельных зон полностью открытого фронта, отличается на от действительного.

На самом деле, пусть на экран с отверстием падает плоская волна. Если отверстие столь мало, что по отношению к некоторой точке открыта часть центральной зоны Френеля, то колебания в точке изобразятся первой стрелкой, параллельной оси . Если фронт открыт полностью, то колебания в точке изобразятся вектором перпендикулярным оси , рис.58 (в). Отсюда следует, что фаза колебаний, приходящих от плоского фронта, должна была бы отставать на от фазы колебаний, приходящих от малого отверстия, т.е. от колебаний, распространяющихся в виде элементарной полусферической волны.

Тем не менее, метод зон Френеля несомненно полезен, т.к. он приводит к получению правильных значений амплитуды колебаний, а, следовательно, и освещенности.