На прямой   найдите точку, сумма расстояний которой до точек  (-5;0) и  (-3;4) наименьшая.

§ 12.2. Взаимное расположение прямых на плоскости

Прямые, определяемые уравнениями параллельны тогда и только тогда, когда направляющие векторы   и   параллельны, отсюда условие параллельности двух прямых

Условия, при которых два уравнения определяют одну и ту же прямую

Все коэффициенты одного уравнения получаются из другого умножением на некоторое отличное от нуля число, т. е. уравнения эквивалентны. Ясно, что если прямые совпадают, то имеет место пропорция (4).

Плоскость называется ориентированной, если на ней указано некоторое направление вращения в качестве положительного. Углом   между прямой   и прямой   на ориентированной плоскости называется тот угол, на который следует повернуть   до совпадения с   Если поворот совершается в положительном направлении, то   Если поворот совершается в отрицательном направлении, то  Угол между прямыми можно вычислить как угол   между направляющими векторами

Отсюда условие перпендикулярности прямых:

Если уравнения записаны через угловой коэффициент,

то условия взаимного расположения прямых выглядят так:

условие параллельности 

условие совпадения 

условие перпендикулярности 

Если существует общая точка прямых, заданных уравнениями

то ее координаты удовлетворяют этим уравнениям и обратно, если координаты некоторой точки удовлетворяют уравнениям одновременно, то эта точка есть точка пересечения прямых. Следовательно, для нахождения координат общей точки надо решить систему, составленную из этих двух уравнений. Если

то существует единственное решение системы.

Пучком пересекающихся прямых, определяемым прямыми (1) и (2), называется совокупность всех прямых, проходящих через точку пересечения этих прямых, если они пересекаются. Центром пучка называется точка пересечения прямых. Пучком параллельных прямых называется совокупность всех прямых, имеющих направления прямых (1) и (2), если они параллельны или совпадают.

ТЕОРЕМА. Уравнение пучка прямых, определяемого различными прямыми (1) и (2), имеет вид где   и   принимают всевозможные значения, не равные одновременно нулю.

Доказательство. Ясно, что прямая

проходит через точку пересечения прямых (1) и (2). Пусть прямая

проходит через точку пересечения прямых (1) и (2). Система

имеет единственное решение и   Теорема доказана.

При решении задач удобнее это уравнение использовать в виде

в котором можно записать уравнение любой прямой, проходящей через точку пересечения прямых (1) и (2), кроме второй из взятых прямых.

Задача. Даны уравнения двух пересекающихся прямых 

Найдите уравнения прямой, проходящей через данную точку   и точку пересечения данных прямых.

Прямая пучка проходит через данную точку, если

Подставив полученное значение   в уравнение пучка после преобразований получим

Упражнения

1. Выясните взаимное расположение прямых и в случае пересечения определите координаты общей точки

   • а)   и 

   • б)   и 

   • в)   и 

   • г)   и 

   • д)   и 

   • е)   и 

   • ж)   и 

2. При каком значении параметра   прямые параллельны   и 

3. Докажите, что уравнение пучка с центром   можно записать так

 или 

4. Докажите, что три прямые

принадлежат одному пучку тогда и только тогда, когда

5. Даны уравнения сторон треугольника

 и   Составьте уравнения:

• а) высот треугольника,

• б) прямых проходящих через вершины треугольника параллельно противоположным сторонам.

Через точку пересечения прямых   и   проведите прямую:

• а) параллельную оси абсцисс;

• б) параллельную оси ординат;

• в) проходящую через начало координат.