Алгебра передаточних функцій.

Перевага в використанні передаточної функції полягає в тому, що при дослідженні САУ вдається перейти від диференційного рівняння до алгебраїчного.

Розглянемо методику визначення передаточних функцій при різних варіантах з'єднань ланок.

;

БІЛЕТ №29

1. Метод малих відхилень.

Відповідь:

Метод малих відхилень:

Характеристику заміняємо дотичною.

Реалізація методу малих відхилень використовується при лінеаризації статичних відхилень за допомогою ряду Тейлора.

Розглянемо математичне обоснування методу лінеаризації.

розкладемо в ряд Тейлора.

остаточний член ряду Тейлора. (погрішність)

Суть лінеаризації полягає в тому, що нелінійну функцію представляють тільки у вигляді постійної складової та складовою, що містить похідні першого порядку.

Приклад: робоча точка

БІЛЕТ №30

1. Види передаточних функцій

Відповідь:

Види передаточних функцій.

Нехай ми маємо можливість привести збурення до входу об'єкта управління, здійснюючи при цьому відповідні перетворення на функціональній схемі.

Рівняння у рівняння

Підставимо рівняння у рівняння

І передаточна функція:

передаточна функція розімкнена система.

Отримаємо передаточні функції по керуючому впливу, використовуючи принцип суперпозиції.

Передаточна функція по керуючому впливу буде формуватись при , а керуючий вплив

при

при

Сформуємо передаточну функцію похибки системи.

На основі рівняння , , підставимо рівняння у рівняння

при

Приклад:

при

БІЛЕТ №31

1. Частотні характеристики САУ.

Відповідь:

Частотні характеристики

Якщо перехідні процеси та відповідні показники якості оцінюються на основі використання вхідних ступінчатих сигналів, то частотні характеристики формуються шляхом дослідження впливу на системи автоматичного управління гармонічних сигналів.

Якщо на вхід лінійної САУ подавати гармонічні коливання то після закінчення перехідного процесу на виході САУ будуть встановлені гармонічні коливання тієї ж частоти, але зсунуті за фазою, та амплітудою, що відрізняється від амплітуди вхідного сигналу.

Фізичний зміст перетворення системи гармонічних коливань розглянемо більш детально.

де амплітуда, частота.

Рівняння динаміки в операторній формі має вигляд:

Представимо вхідний сигнал в показниковій формі Ейлера:

Вихідний сигнал являє собою рішення диференційного рівняння в правій частині якого вхідним сигналом є гармонічний сигнал .

вільна складова вихідної величини, що характеризує перехідний процес і є загальним рішенням диференційного рівняння .

Загальне диференційне рівняння можна отримати з рівняння с заміною правої частини на 0.

вимушена складова.

Вільна складова затухає. , при

В усталеному режимі має місце , оскільки

В подальшому розглянемо тільки вимушену складову в розв'язку диференційного рівняння

Враховуючи що вхідний сигнал можна представити як суму вхідних сигналів та на основі принципу суперпозиції. Сигнал представимо у вигляді двох складових

Розглянемо дію на систему сигналу

З урахуванням системи вище, рівняння буде мати вигляд:

Будемо шукати розв'язок цього диференційного рівняння у вигляді

А₁ не залежить від параметру t. Підставляючи у рівняння отримаємо:



- частотна передаточна функція САУ.

(*)

Рівняння на основі рівняння * можна переписати наступним чином:

(**)

Розв'язок: де А₂ не залежить від t.

Підставивши у ** отримаємо:

Перейти до рівняння динаміки

де – модуль передаточної функції, або амплітудно-частотна характеристика.

Амплітудно-частотна характеристика.

де амплітуда вихідного гармонічного сигналу, амплітуда вхідного гармонічного сигналу.

фазочастотна характеристика САУ.

Алгебраїчна форма:

дійсна частина характеристики;

уявна частина характеристики.

Таким чином при зміні частоти вхідного сигналу вектор займе нове положення на комплексній площині.

Крива яку описує кінець вектора частотної передаточної функції на зміні частоти від 0 до називається амплітудно-фазовою характеристикою (АФХ). В літературі зустрічають амплітудно-фазо-частотна характеристика (АФЧХ).

Амплітудно фазова характеристика, яка формується при зміні частоти від 0 до є дзеркальним відображенням АФХ для діапазону частот відносно осі абсцис.

Приклад:

;

; ;

; ;

БІЛЕТ №32

1. Експериментальний спосіб побудови частотних характеристик.

Відповідь: