7.2. Методы оценки выбора решения

7.2.1. Платежная матрица имеет седловую точку

Пример 1. Предприниматель выпускает 3 вида товаров: А₁, А_2, А_3, которые он хочет реализовать на рынке, где возможная продажа аналогичных товаров конкурента В составляет В₁, В₂, В₃. Предпринимателю стали известны возможное количество продукции каждого вида, которые могут быть проданы при различных вариантах появления товаров конкурента.

Нижняя и верхняя цена игры

B A	В1	В2	В3	αi
А1	5	6	8	5
А2	8	7	7	7*
А3	9	7	6	6
βj	9	7*	8

Седловая точка равна: α = β = V=7

[ Предположим, что игрок А выбирает стратегию А₂. Тогда в зависимости от того, какую стратегию изберёт противник, наш выигрыш будет равен либо 8, либо 7. Итак, выбирая стратегию А₂, мы в худшем случае получаем выигрыш 7, чтобы не начал конкурент.

Если же выберем стратегию А₁ или А₃, то будем иметь в худшем случае выигрыш 5 или 6. Ясно, что следует выбирать ту стратегию, где минимальный возможный выигрыш оказывается наибольшим (по сравнению с остальными стратегиями). В данном случае это стратегия А₂.

[Аналогичным образом рассуждает противник. Если он выберет стратегию В₂, то в худшем для себя случае позволит нам получить выигрыш 7. При выборе стратегии В₃ худший (для противника) случай соответствует нашему выигрышу, равному 8. При выборе стратегии В₁ худший (для противника) случай соответствует нашему выигрышу, равному 9. Ясно, что противник должен выбрать ту стратегию, где наш выигрыш оказывается наименьшим.

Вывод: для игрока А оптимальной чистой стратегией будет стратегия A₂, а для игрока В – стратегия B₂.

7. 2.2. Платежная матрица не имеет седловую точку

Если же игра не имеет седловой точки, то ни одна из стратегий А_i или В_j не является оптимальной. Тогда стратегии нужно "смешивать", чередовать случайным образом с какими-то вероятностями. Смешанные стратегии в теории игр представляют модель изменчивой, гибкой тактики, когда ни один из игроков не знает, как поведёт себя противник в данной партии.

Смешанной стратегией S_A игрока А называется применение чистых стратегий A₁, A₂, ..., A_n с вероятностями p₁, p₂, ..., p_i, ..., p_n причем сумма вероятностей равна 1:

При этом выигрыш игрока A будет не меньше некоторого значения V, называемого ценой игры. Это значение больше нижней цены игры, но меньше верхней.

Аналогичны образом должен вести себя игрок B. Его оптимальная стратегия также есть некоторая смешанная стратегия или в виде строки S_B=(q₁, q₂, …,q_m), где q_j — специально подобранные вероятности, с которыми игрок B использует стратегии B_j. Сумма вероятностей равна 1:

При выборе игроком B оптимальной смешанной стратегии выигрыш игрока A будет не больше цены игры V.

Таким образом, выигрыш, соответствующий оптимальному решению, называется ценой игры V. Цена игры удовлетворяет неравенству α≤v≤β, где α и β — нижняя и верхняя цены игры.

Решением игры называется такая пара стратегий — в общем случае смешанных, систематическое применение которых обеспечивает каждой стороне максимально возможный для нее по условиям игры выигрыш, определяемый ценой игры. Если же одна из сторон отступает от своей оптимальной стратегии (в то время как другая продолжает придерживаться своей), то это ни в коем случае не может быть выгодно для отступающего; это либо оставит его выигрыш неизменным, либо уменьшит.

Пример 2. Предприятие может выпускать два вида продукции (A₁ и А₂), получая при этом прибыль, зависящую от спроса, который может оказаться в одном из двух состояний (В₁, В₂,). Задана матрица, ее элементы характеризуют прибыль, которую получит предприятие при выпуске i-го вида продукции и j-ом состоянии спроса (таблица 5.4).

Определите оптимальные пропорции в выпускаемой продукции, гарантирующие среднюю величину прибыли при любом состоянии спроса.