Р ис. 2.2. Траектория минимизации по методу скорейшего спуска

Поэтому в ряде случаев целесообразно применять методы прямого поиска.

Важным вопросом при использовании метода градиента явля­ется вычисление частных производных входящих в (2.2). Для этого применяют аналитические и численные методы. Первые из них более точные, но используются они при простом виде целе­вой функции. Так, в методе наименьших квадратов имеем [76]

; ,

где Р - веса результатов измерений; a и b коэффициенты уравнений поправок; l-свободные члены параметрических уравнений.

Для более сложных целевых функций применяют следующие виды формул:

; (2.3)

; (2.4)

; (2.5)

где ; ;

; ,

а d ¾ малое приращение аргументу.

Выбор правильного значения d входящего в формулы (2.3) - (2.5) зависит от следующих факторов:

1) от числа значащих цифр в разрядной сетке ЭВМ (n);

2) от числа целых чисел в переменной xi (Sср.);

3) от вида геодезических построений.

Учитывая эти факторы, найдем эмпирическую формулу для вы­числения d, входящего в (2.4) и (2.5). С этой целью при­меним метод статистических испытаний, сравнивая сгенерирован­ные координаты с полученными их значениями при различных d, Среднее из 200 расхождений координат дня однократной линейной засечки представлены в табл.2.1, а для однократной прямой засечки ¾ в табл.2.2. По результатам вычислений получим фор­мулу

. (2.6)

Величины расхождений для d, найденного по этой фор­муле, подчеркнуты в табл. 2.1 и 2.2.

2.1.2. Методы поиска

Методы прямого поиска, не использующие производные при вычислении направления и шага минимизации, во многих приложе­ниях дают результаты лучшие, чем градиентные методы.

Как показал исследования Д.Химмельблау [89], методы по­иска особенно эффективны в заключительной стадии минимизации, то есть тогда, когда градиентные методы „требуют повышенную точность вычисления производных и сходятся сравнительно мед­ленно.

Таблица 2.1.

Средние из 200 расхождений координат (линейная засечка)

Формулы	n	S, м	Значение приращения аргумента d, м
			1	0,1	0,01	0,001	0,0001	0,00001	0,000001
2.4	7	2000	0,45Е-2	0,47Е-2	0,43Е-2	2,05Е-2
2.4	7	200	13,5Е-3	0,59Е-3	0,37Е-3	0,54Е-3	0,93Е-3
2.4	7	20	204Е-4	1,56Е-4	0,36Е-4	0,40Е-4	0,39Е-4	1,06Е-4
2.5	7	2000	0,47Е-2	0,40Е-2	0,68Е-2	3,11Е-2
2.5	7	200	0,44Е-3	0,37Е-3	0,57Е-3	0,40Е-3	0,60Е-3
2.5	7	20	0,38Е-4	0,35Е-4	0,43Е-4	0,45Е-4	0,47Е-4	47,8Е-4
2.4	16	2000	0,24Е-3	0,21Е-5	0,17Е-7	0,78Е-8	0,42Е-8	0,60Е-8	0,53Е-8
2.4	16	200	0,18Е-2	0,18Е-4	0,23Е-6	0,16Е-8	0,99Е-9	0,12Е-8	0,88Е-9
2.4	16	20	0,18Е-1	0,31Е-3	0,29Е-5	0,12Е-7	0,65Е-9	0,69Е-9	0,69Е-9
2.5	16	2000	0,50Е-8	0,74Е-8	0,86Е-8	0,77Е-8	0,43Е-8	0,69Е-8	0,58Е-8
2.5	16	200	0,55Е-8	0,12Е-8	0,10Е-8	0,98Е-9	0,80Е-9	0,87Е-9	0,10Е-8
2.5	16	20	0,81Е-5	0,74Е-9	0,67Е-9	0,74Е-9	0,73Е-9	0,69Е-9	0,62Е-9

Таблица 2.2.

Средние из 200 расхождений координат (прямая засечка)

Формулы

n

S, м

Значение приращения аргумента d, м

1

0,1

0,01

0,001

0,0001

0,00001

0,000001

2.4

7

2000

0,14Е-1

0,17Е-1

0,13Е-1

0,13Е-1

0,22Е-1

2.4

7

200

0,27Е-2

0,25Е-2

0,26Е-2

0,13Е-2

1,82Е-2

2.4

7

20

56,9Е-3

0,44Е-3

0,23Е-3

3,27Е-3

0,17Е-3

14,6Е-3

2.5

7

2000

0,12Е-1

0,18Е-1

0,17Е-1

0,36Е-1

2.5

7

200

0,14Е-2

0,14Е-2

0,14Е-2

0,26Е-2

0,15Е-2

2,40Е-2

2.5

7

20

0,17Е-3

0,13Е-3

0,15Е-3

0,15Е-3

0,18Е-3

22,0Е-3

2.4

16

2000

0,79Е-3

0,92Е-5

0,55Е-5

0,55Е-5

0,62Е-5

0,61Е-5

0,55Е-5

2.4

16

200

0,70Е-2

0,58Е-4

0,76Е-6

0,57Е-6

0,53Е-6

0,65Е-6

0,81Е-6

2.4

16

20

0,46Е-1

0,78Е-3

0,62Е-5

0,68Е-7

0,51Е-7

0,55Е-7

0,57Е-7

2.5

16

2000

0,58Е-5

0,58Е-5

0,55Е-5

0,53Е-5

0,51Е-5

0,54Е-5

0,67Е-5

2.5

16

200

0,56Е-6

0,59Е-6

0,57Е-6

0,71Е-6

0,56Е-6

0,54Е-6

0,64Е-6

2.5

16

20

0,23Е-4

0,57Е-7

0,57Е-7

0,64Е-7

0,76Е-7

0,58Е-7

0,60Е-7

Среди широкого класса методов прямого поиска наиболь­шее применение для решения систем нелинейных уравнений полу­чили методы покоординатной минимизации (Гаусса-Зейделя) [3], Хука и Дживса [37, 103], поиска по деформированному многогран­нику [103], метод Пауэлла [39, 86, 81, 83, 105] и др.

Самым трудоемким в вычислительном отношении является ме­тод слепого поиска, примененный для геодезических вычислений Г.М.Гринбергом [25].

При минимизации целевой функции слепым поиском используют регулярную сетку. Поместим центр этой сетки в точку с коорди­натами, равными среднему арифметическому из координат исход­ных пунктов. По ним также можно предсказать и шаг сетки l, но лучше его задавать заранее через S_ср./3, используя до­полнительную информацию о длинах сторон всей геодезической сети. Опыт показывает, что при двух определяемых пунктах l = S_ср./5, а для трех пунктов l = S_ср./3 при числе узлов 10 ´ 10 = 100. В этих случаях сеткой будут накрыты все возможные местоположения определяемых пунктов, а координаты будут найдены с точностью, позволяющей их дальнейшее уточнение другими методами нелинейного программирования, изложенными во второй главе. Для случая двух определяемых пунктов цель вычис­лений заключается в том, чтобы найти такие два узла сетки, для которых значение целевой функции будет минимальным. Для случая трех определяемых пунктов отыскиваются аналогично во всех воз­можных комбинациях три узла сетки. Для пространственной засечки двух пунктов сетка пространственная и будет содержать 10 ´ 10 ´ 10 = 1000 узлов.