Локальная теорема Муавра-Лапласа

Несмотря на элементарность формулы при больших n непосредственное вычисление по ней связано с большой вычислительной работой (погрешностью). Поэтому по теореме Муавра-Лапласа:

, где , а . (8)

Данная формула применима при , и тем более точна, чем . Функция – табулирована и обладает свойствами:

a) – четная , b) – убывающая, кроме того ≈ 0.0001. при .

Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Вспомним:

Переходя к пределу, при , заменяем , получим:

, (9)

где ; .

Для вычислении

я по этой формуле вводится функция Лапласа (интеграл вероятности):

, (10)

обладающая следующими свойствами:

а) – нечетная функция; б) – возрастает на R;

в) ; г) .

Учитывая свойства функции Лапласа, окончательно получим:

.

Теорема Пуассона (Закон редких событий)

Пусть у нас n₁ – число опытов; p – вероятность успехов, . В случае n₂ > n₁ считаем, что . Пусть при , , тогда по известной формуле оценим вероятность ровно k – успехов в схеме Бернулли:

– среднее значение.

Если требовать, чтобы: , ,

Если n – велико, а вероятность р – мала, то при npq < 10 Пуассон, иначе ЛТМЛ.

ПРИМЕР 1: Производится 4 независимых выстрела с вероятностью попадания р = 0.25. Какова вероятность событий: Р₄(0), Р₄(1), Р₄(2), Р₄(3), Р₄(4)?

РЕШЕНИЕ: . .

. .

ПРИМЕР 2: Вероятность появления бракованной детали р = 0.005. Какова

вероятность того, что в партии из 10000 деталей бракованных будет не более 70?

РЕШЕНИЕ: Схема испытаний Бернулли:

Вспомним интегральную теорему Муавра–Лапласа:

здесь m₁ = 0; m₂ = 70. Находим:

m₁ – np =-50, m₂ – np = 20.

, .

Окончательно получим: .

Случайные величины

Числовая величина , значение которой может меняться в зависимости от случая, называется случайной величиной (СВ).

В рамках теоретико-вероятностной схемы, когда предполагаем, что имеется некоторое пространство элементарных исходов , случайной величиной называют функцию от элементарных исходов :

где .

Различают два основных типа случайных величин: дискретные и непрерывно распределенные.

Дискретные величины в зависимости от элементарных исходов принимает конечное или счетное число различных значений х с соответствующими вероятностями:

. (6.1)

Здесь = х, обозначает, что случайная величина принимает значение х, т.е. { }={ }. Вероятность события , состоящего в том, что случайная величина принимает одно из значений х, лежащих в пределах , есть

. (6.2)

В формуле (6.2) суммирование производится по конечному или счетному числу х, которые может принимать дискретная случайная величина .

Соответствие между возможными значениями СВ и вероятностями этих значений называют распределением вероятностей СВ и обозначают .

Законом распределения СВ называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями СВ и соответствующими им вероятностями.

Тогда о СВ можно говорить, что она подчинена данному закону. Простейшей формой задания этого закона является таблица, в которой перечислены возможные значения СВ и соответствующие им вероятности.

xi	x1	x2	....	xn
pi	p1	p2	....	pn

Такую таблицу будем называть рядом распределения СВ.

Чтобы придать ряду распределения более наглядный вид часто прибегают к его графическому отображению.

Такая фигура называется многоугольником распределения.

ПРИМЕР 1: Стрелок ведет стрельбу по мишени до первого попадания, имея боезапас 4 патрона. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0.6. Построить ряд распределения боезапаса, оставшегося неизрасходованным.

РЕШЕНИЕ: СВ Х – число неизрасходованных патронов имеет четыре возможных значения: 0, 1, 2 и 3. Вероятности этих значений равны соответственно:p₀ = 0.4³ = 0.064, p₁=0.4²·0.6 = 0.096, p₂ = 0.4·0.6 = 0.24, p₃ = 0.6.

xi	0	1	2	3
pi	0.064	0.096	0.24	0.6

Очевидно, что ряд распределений не универсальная характеристика. Нетрудно убедиться, что для непрерывной СВ такую характеристику построить нельзя (т.к. СВ имеет бесчисленное множество значений). Поэтому составить таблицу, в которой бы были перечислены все возможные значения СВ невозможно. Кроме того, как мы убедимся в дальнейшем, каждое отдельное значение непрерывной СВ обычно не обладает никакой, отличной от нуля, вероятностью.

Однако различные области возможных значений СВ все же не являются одинаково вероятными и для непрерывной СВ существует "распределение вероятностей", хотя и не в том смысле, как для дискретной.

Для количественного описания этого распределения вероятностей удобно воспользоваться не вероятностного события Х = х, а вероятностью события Х < х, где х - некоторая текущая переменная. Вероятность этого события, очевидно, зависит от х, и является некоторой функцией от х. Эта функция называется функция распределения случайной величины Х и обозначается F(x).

F(x) = P(X < x) (6.3)

Функцию F(x) иногда называют интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.

Функция распределения – самая универсальная характеристика СВ. Она существует как для дискретных, так и непрерывных СВ. Функция распределения полностью характеризует СВ с вероятностной точки зрения, т.е. является одной из форм закона распределения.

Укажем некоторые общие свойства функции распределения:

1. Функция распределения F(x) неубывающая функция своего аргумента, т.е. при х2 > х1 F(x2) F(x1).

2. На минус бесконечности функция распределения равна нулю: .

3. На плюс бесконечности функция распределения равна единице: .

4. 

График функции распределения в общем случае представляет собой график неубывающей функции, значение которой начинается от 0 и доходит до 1, причем в отдельных точках функция может иметь разрыв.

Зная ряд распределения дискретной СВ, можно легко построить функцию распределения этой величины.

Действительно: .

ПРИМЕР 2: Произведем один опыт, в котором может произойти или не произойти событие А. Вероятность события А р = 0.3. СВ Х – число появлений события А в опыте (дискретная СВ). Необходимо построить функцию распределения СВ.

РЕШЕНИЕ: Ряд распределения СВ Х имеет вид:

xi	0	1
pi	0.7	0.3

Построим функцию распределения случайной величины Х:

1. при х 0 F(x) = P(X < x) = 0;

2. при 0 < x 1 F(x) = P(X < x) = P(X = 0) = 0.7;

3. при x > 1 F(x) = P(X < x) = P(X = 0) + P(X = 1) = 1.

ПРИМЕР 3: При тех же условиях провели 4 независимых опыта. Постройте функцию распределения числа появлений события А.

РЕШЕНИЕ: Х – число появлений события А в 4 опытах. Эта величина имеет ряд распределения:

xi	0	1	2	3	4
pi	0.2401	0.4116	0.2646	0.0756	0.0081

Построим функцию распределения СВ Х:

1. при F(x) = 0;

2. 0 < x 1 F(x) = 0.2401;

3. 0 < x 2 F(x) = 0.6517;

4. 0 <x 3 F(x) = 0.9163;

5. 0 < x 4 F(x) = 0.9919;

6. x > 4 F(x) = 1.