Примеры для самостоятельного решения
Решить уравнения:
1.
;
2.
;
3.
;
4.
.
Написать частные решения с неопределенными коэффициентами:
5.
6.
,
7.
.
Ответы:
1.
,
2.
,
3.
,
4.
,
5.
,
6.
,
7.
.
Глава 2. Ряды
Числовые ряды
5.1. Основные понятия
Выражение вида
(5.1)
называется числовым
рядом, где
−
действительные
или комплексные числа, называемые
членами
ряда,
− общий
член ряда.
Сумма первых
членов ряда называется
-й
частичной
суммой
ряда и обозначается
,
т.е.
.
Если последовательность
частичных
сумм ряда имеет конечный предел
при
,
то ряд называется сходящимся,
число
называют
суммой
ряда. Если
не существует или
,
то говорят, что ряд (1.1) расходится.
Такой ряд суммы не имеет.
Пример 5.1. Рассмотрим ряд
.
(5.2)
Члены
ряда (5.2) есть члены геометрической
прогрессии, сумма
первых членов которой находится по
формуле
=
,
.
1). Если
,
то
при
,
,
ряд (5.2) сходится и его сумма равна
.
2). Если
,
то
при
.
Поэтому
,
ряд (5.2) расходится.
3). Если
,
то ряд (5.2) принимает вид
.
В этом случае
,
,
т.е. ряд расходится.
4). Если
,
то ряд (5.2) принимает вид
.
В этом случае
при четном
и
при нечетном
.
Поэтому
не существует, ряд расходится.
Таким образом, ряд
сходится при
и расходится при
.
Например, ряд
есть ряд, составленный из членов
геометрической прогрессии при
.
Следовательно, ряд сходится и его сумма
.
Пример 5.2.
Рассмотрим ряд
.
Общий член ряда
.
Для удобства вычисления частичной суммы
перепишем его в виде
.
Тогда:
.
Следовательно,
,
т.е. ряд сходится и его сумма равна 1.
Рассмотрим некоторые свойства рядов.
Свойство 1. Если ряд (5.1) сходится и его сумма равна , то ряд
(c
− произвольное число) (5.3)
также сходится и
его сумма равна
.
Доказательство.
Обозначим
-ю
частичную сумму ряда (5.1) через
,
а ряда (5.3) через
.
Тогда
,
.
Следовательно, ряд (5.3) сходится и его сумма равна .
Свойство 2.
Если ряды
и
сходятся и их суммы соответственно
равны
и
,
то сходятся ряды
и их суммы соответственно равны
.
Свойство 3. Если к ряду (5.1) прибавить (или отбросить) конечное число членов, то полученный ряд и ряд (5.1) сходятся или расходятся одновременно.
Свойства 2, 3 доказываются аналогично свойству 1.
Ряд
называется
-м
остатком
ряда (5.1).
Он получается из ряда (5.1) путем отбрасывания
первых его членов.
Ряд (5.1) и его остаток, согласно свойству 3, одновременно сходятся или расходятся.
Из этого же свойства
следует, что если ряд (5.1) сходится, то
при
его остаток стремится к нулю. Действительно,
в случае сходимости ряда (5.1) имеем:
,
где
,
или
.
Тогда
.
Примеры для самостоятельного решения
Найти сумму ряда:
1.
,
2.
.
Ответы:
1.
,
2.
.
5.2. Необходимый признак сходимости
Установить
сходимость или расходимость ряда путем
вычисления
(как это сделано в примерах 5.1, 5.2) во
многих случаях является непростой
задачей. Поэтому для выяснения сходимости
ряда используют специальные признаки
сходимости.
Т
еорема
5.1 (необходимый признак сходимости).
Если ряд сходится, то предел его общего
члена при
равен нулю.
Доказательство.
Пусть ряд
сходится. Тогда, учитывая, что
,
получим
.
Следствие (достаточное условие расходимости ряда). Если предел -го члена ряда отличен от нуля или не существует, то ряд расходится.
Действительно,
если бы ряд сходился, то, согласно теореме
5.1,
,
что противоречит условию. Следовательно,
ряд расходится.
Пример 5.3.
Исследовать сходимость ряда
.
Решение.
,
поэтому по достаточному условию
расходимости данный ряд расходится.
Пример 5.4. Исследовать сходимость ряда
.
Решение. Так
как по второму замечательному пределу
,
то ряд расходится.
Следует отметить, что теорема 5.1 дает необходимое условие сходимости ряда, но не достаточное, т.е. если , то из этого еще не следует, что ряд сходится. В качестве примера рассмотрим ряд
,
(5.4)
называемый
гармоническим.
Здесь
.
Однако этот ряд является расходящимся.
Покажем это. Запишем сумму первых
и
членов ряда:
,
.
Найдем разность
,
в которой каждое слагаемое заменим
наименьшим, равным
.
Получим
,
или
.
Теперь предположим, что ряд (5.4) сходится,
тогда
.
Переходя к пределу в неравенстве,
получим, что
,
или
.
Пришли к противоречию, следовательно
предположение о сходимости ряда (5.4)
неверно, т.е. гармонический ряд расходится.