Розділ 1 Аналіз рядів розподілу

В результаті зведення та групування одержують ряди розподілу. В залежності від статистичної природи групувальної ознаки (х) ряди розподілу розділяють на атрибутивні та варіаційні ( за кількісною ознакою). В свою чергу варіаційні ряди поділяються на інтервальні та дискретні. Ряди розподілу складаються із варіант(х) та частот f або часток d. Ряди розподілу з абсолютними частотами f характеризують склад сукупності, а з відносними(частками d) структуру сукупності. Якщо ряд розподілу є інтервальним з нерівними інтервалами то аналізуючи розподіл використовують щільність частоти( частки) на одиницю інтервалу :

;

До характеристик центру розподілу відносять середню арифметичну

зважену, а також порядкові середні: моду, медіану та інші квантилі. Середня арифметична характеризує типовий рівень ознаки в сукупності. За даними ряду розподілу середня розраховується, як середня арифметична зважена:

на основі частот	на основі часток

Середня арифметична зазнає впливу всіх індивідуальних значень.

Різновидом середніх величин є порядкові середні – це мода, медіана та інші квантилі.

Мода М₀ – це найпоширеніше значення ознаки в рядах розподілу, тобто варіанта,

я ка в ряду розподілу має найбільшу частоту (частку).

В інтервальних рядах моду визначають за формулою Орженського:

де x0 та h- відповідно нижня межа та ширина модального інтервалу.

fm0 , fm0-1, fm0+1 - частоти (частки) модального, передмодального та післямодального інтервалу.

Модальним називають інтервал, якому відповідає найбільша частота, він визначається візуально.

Медіана Ме - це варіанта, яка припадає на середину упорядкованого ряду розподілу і ділить його на дві рівні за обсягом частини.

Для визначення Ме у ряду використовують кумулятивні ( нагромаджені) частоти Sf або Sd.

В інтервальному ряду медіана визначається за формулою Фехнера:

де x0 та h – нижня межа та розмір медіального інтервалу;

Sme-1 – кумулятивна частота предмедіального інтервалу; fme- частота медіального інтервалу.

Ряд розподілу відповідно завданню утворює 7 груп з нерівномірними інтервалами, з метою полегшення аналізу рядів розподілу необхідно на основі даних табл. 1.1 провести вторинне групування і утворити 5 груп з рівними інтервалами.

ЗП	Кількість працівників
1300-2200	8
2200-2800	5
2800-3200	11
3200-3400	7
3400-4100	5
4100-4600	3
4600-6000	2
разом	40+ 1 =41

В изначаємо крок інтервалу групування

h= (x_max- x_min)/5 =( 6000-1300)/5 =940

Отже будемо мати групи з такими межами:

1300-2240

2240-3180

3180-4120

4120-5060

5060-6000

У таблиці 1.2 представлено вторинне групування

Таблиця 1.2

групи за ЗП	Кількість працівників
1300-2240	8+((5/(2800-2200)*(2240-2200)) =8
2240-3180	5+((11/(3200-2800)*(3180-2800) =15
3180-4120	1+7+5+((3/(4600-4100)*(4120-4100)=13
4120-5060	3+((2/(6000-4600)*(5060-4600)= 4
5060-6000	1
разом	41

Розрахуємо характеристики центру розподілу для утвореного ряду розподілу,

таблиця 1.3.

Таблиця 1.3

групи за ЗП	f	xсер	xf				S
1300-2240	8	1770	14160	-1306,82927	10454,6	13662421,9	14
2240-3180	15	2710	40650	-366,829268	5502,44	2018455,68	23
3180-4120	13	3650	47450	573,1707317	7451,22	4270820,94	36
4120-5060	4	4590	18360	1513,170732	6052,68	9158742,65	40
5060-6000	1	5530	5530	2453,170732	2453,17	6018046,64	41
разом	41		126150		31914,1	35128487,8

грн.;

Отже, середня заробітна плата на підприємстві 3076,83 грн

Визначаємо:

М едіану Me=X_Me+h* грн.;

Моду Мо=Х_Мо+h* грн..

Визначимо графічно моду та медіану.

Р ис. 1.1 – Графічне визначення моди

Рис. 1.2 – Комулянта

О бчислюємо розмах варіації:

R= x_max-x_min = 6000- 1300= 4700 грн.

Середнє лінійне відхилення

= = грн..

Дисперсія

² =

Середнє квадратичне відхилення

Лінійний коефіцієнт варіації

= 100 %=

Квадратичний коефіцієнт варіації

= 100 %= ;

Порівняємо значення , Ме_, М_{0 ;}

= 3076,83, М_е=3023,33 М_о=2971, як бачимо  М_о М_е отже маємо правосторонню асиметрію

Стандартизоване відхилення: А_S = , якщо асиметрію визначати за показником медіани А_s = 0,06

Визначимо коефіцієнт асиметрії та ексцес за допомогою центральних моментів розподілу 3-го та 4-го порядку.

Таблиця 1.4 - Розрахунок значень центральних моментів 3-го та 4-го порядку

групи за ЗП	f	(x-x)3	(x-x)3f	(x-x)4	(x-x)4f
1300-2240	8	-2231806600	-17854452803,88	2916590186682,09	23332721493456,70
2240-3180	15	-49361908,04	-740428620,6	18107392607,71	271610889115,68
3180-4120	13	188300735,6	2447909563	107928470419,12	1403070115448,54
4120-5060	4	3464685331	13858741322	5242660436701,67	20970641746806,70
5060-6000	1	14763295877	14763295877	36216885348040,70	36216885348040,70
разом	41		12475065337		82194929592868,30

так , як А_s<0,5 –

асиметрія середня.

<3, що говорить про плосковершиний розподіл.

Для оцінки істотності коефіцієнта асиметрії та ексцесу розподілу визначимо середню квадратичну похибку:

>3 , = ;

= 3 ,тому асиметрія несуттєва.

>3, =

= >3 , це означає, що ексцес є властивий для розподілу

ознаки в генеральній сукупності.

Поглиблюючи аналіз, можна описати закономірність співвідношення варіант і частот певною функцією, яку називають теоретичною кривою. Серед множини кривих розподілу найпоширенішою виявилась нормальна крива. Вона застосовується як стандарт, з яким порівнюють інші розподіли.

Частоти , які відповідають теоретичній кривій називаються теоретичними. Для нормального розподілу їх визначають за формулою:

,

де N = Σf – обсягу сукупності, або сума частот варіаційного ряду;

h – інтервал групування;

- середнє квадратичне відхилення.

–диференційна функція Лапласа: .(Додаток Б)

Ф ункція табульована і її значення знаходимо в таблицях, попередньо визначивши нормовані відхилення , де х – середина інтервалу групування.

Перевіримо гіпотезу про відповідність емпіричного розподілу нормальному.

Результати заносимо в таблицю 1.5

Таблиця 1.5 – Теоретичний розподіл

групи за ЗП	f	x	t
1300-2240	8	1770	-1,41183	0,1497	6
2240-3180	15	2710	-0,3963	0,3683	15
3180-4120	13	3650	0,619222	0,3312	14
4120-5060	4	4590	1,634745	0,1074	5
5060-6000	1	5530	2,650269	0,0119	1
разом	41				41

Для оцінки істотності відхилень використовуємо критерій узгодження Пірсона. Результати розрахунків заносимо в таблицю 1.6.

Таблиця 1.6 - Розрахунок фактичних значення критерія узгодженості Пірсона

f
1	2	3	4	5
8	6	2	4	0,66
15	15	0	0	0
13	14	-1	1	0,071
4	5	-1	1	0,2
1	1	0	0	0
Разом	41			0,931

Фактичне значення порівнюємо з критичним. Для імовірності 1-а=1-0,95=0,05 і числа вільності к=т-r-1=5-21=2, де т-число груп; r=2- число параметрів функції критичне значення χ²_0,05(2)=5,99. Порівнюючи фактичне та критичне значення критерія Пірсона - χ²=0,931< χ²_0,05(2)=5,99(Додаток Г см.методичні вказівки), з ймовірністю 0,995 можна стверджувати, що розподіл працюючих за заробітною платою підпорядковується нормальному закону.

Лінійна діаграма теоретичних та емпіричних частот зображена на рис.1.3

Рис. 1.3 – Розподіл теоретичних та емперічних частот.

Висновок до розділу 1

Підводячи підсумок дослідження розподілу заробітної плати можна виділити основні аспекти: середня заробітна плата на підприємстві складає 3076,83 грн., половина працівників мають заробітну плату до 3023,33 грн., а друга половина більше неї( М_е = 3023,3грн.). Найпоширеніша заробітна плата на підприємстві 2971 грн. Сукупність є однорідною так, як . Асиметрія лівостороння, середня і несуттєва для даного ряду розподілу. Розподіл плосковершиний, ексцес властивий. З ймовірністю 0,95 можна стверджувати, що даний ряд підпорядковується нормальному закону розподілу так, як розрахунковий коефіцієнт Пірсона (0,94) є значно меньшим за табличне значення.