Вопрос 43. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида. Отыскание частного решения.

a˳y’’+a1y’+a2y=f(x)

решением такого уравнения явл. Функция

Y= y o.o. + y ч.н.

Общее решение однородного уравнения находим в зависимости от корней характеристического уравнения(вопрос 42)

Частное решение находим в зависимости от f(x)

Если правая часть f(x) имеет специальный вид то частное решение находим по плану:

F(x) = e^ƛx (Pn(x)*cosβx+Pm(x)*sin βx)

Находим r-кратность корня α±iβ среди корней характерестического уравнения

Тогда частное решение неоднородного уравнения:

Y ч.н. = e^ƛx * x^r (R(x)*cosβx + Q(x) * sin β x)

Где R(x), Q(x) – многочлены степени

Max {n,m} с неопределенными , которые находят с подстановки решения в исходное уравнение

Пример:

Вопрос 44. Системы дифференциальных уравнений. Основные понятия, теорема Коши, методы решения.

Где искомыми явл функции y1(x),y2(x)…

Будем рассматривать системы с постоянными коэффициентами до 3-го порядка включительно. Обозначим функции x(t), y(t), z(t) –неизвестные ф-ции

Если t-время, то называют эти ф-ции натурального аргумента а их производные обозначают x’(t)= x(сверху точка), x’’(t)= х (сверху две точки) и т.д.

Системы д.у. с постоянными коэффициентами имеют вид:

Решим систему методом исключений. Дифференцируем первое уравнение по t:

X’’=a11x’+a12y’+a13z’+f1’(t)

В полученное уравнение подставим выражения для x’, y’, z’ из исходной системы:

X’’= a11(a11x+a12y+a13z+f1(t)) + a12 ( a21x+a22y+a23z +f2(t)) +a13 ( a31x+a32y+a33z+f3(t)) = b21x+b22y+b23z+𝝋(t)

Дффренцируем еще раз:

X’’’= b21x’+b22y’+b23z’+𝝋2’(t)

Подставим x’,y’,z’ из исходной системы: X’’’=C31x+c32y+C33z+ 𝝋3(t)

Составляем новую систему:

Из первых двух уравнений выражаем y и z и подставляем в последнее уравнение. Тогда 3-е уравнение станет д.у. с постоянными коэффициентами относительно x 3-го порядка

Решение этого уравнения х(t) подставляем во второе и в первое уравнение и находим y, z.