1. Наращенная величина ренты.

Наращенная сумма (amount of cash flows) - сумма всех членов потока платежей с начисленными на них к концу срока процентами.

Рассмотрим пример. Пусть фирма приняла решение о накоплении инвестиционного фонда, для чего ежегодно на счет в банке вносятся суммы по 10 млн. рублей под 20% годовых с последующей капитализацией. Рассчитать накопленную сумму через 3 года.

Период взноса, год	Порядковый номер взноса, накопленная сумма
	1-ый	2-ой	3-ий
1	10,0
2	10,0*1,2	10,0
3	10,0*1,22	10*1,2	10,0

Непосредственный счет наращенной суммы составит сумму

накопленных платежей от каждого взноса в фонд.

От 1 - го взноса R (1+i)² = R(1+i)^n-1,

От 2 - го взноса R (1+i) ¹ = R(1+i)^n-2,

На 3-й взнос проценты не начисляются - R.

Наращенная сумма к концу срока ренты составит сумму членов

приведенного ряда, который в обратной последовательности -

геометрическая прогрессия, где R - первый член ряда, (1+i) -

знаменатель прогрессии. Следовательно, наращенную сумму можно

определить как сумму геометрической прогрессии по формуле:

S = R(1+i)ⁿ-1 ,

i

(1+i)ⁿ-1

i

называется коэффициентом наращения ренты. Приведенная величина справедлива для годовой ренты, табулирована в таблицы, имеет сокращенное обозначение S n, i.

Формула принимает вид S=R S n, i.

Рассчитаем наращенную сумму:

S=10(1+0,2)²+10(1+0,2)+10 = 36,4

S=10 ( (1+0,2) ³ – 1) / 0.2 = 36,4

Приведенная схема расчета справедлива и для случая, если платежи вносятся чаще 1 раза в год и проценты на них начисляются с кратностью m раз в год. В этом случае разовый платеж R соответствует сумме вносимого платежа с кратностью р, проценты начисляются по сложной ставке периода - i/m, а под n нужно понимать число периодов, в течение которых происходит накопление ренты, т.е. n*m.

Таким образом,

При m=р

S= R(1+i/m) ^n*m -1 1/m,

при m≠р

S= R(1+i/m) ^n*m -1

(1+i/m) ^m/p –1.

Пример.

Ежеквартальные платежи в страховую компанию по 1 тыс. рублей в течение 5 лет вносятся в банк под 25% годовых с ежеквартальной капитализацией. Какая сумма будет накоплена к концу срока?

S=1((1+0,25/4)⁵*⁴-1)/(0,25/4)=39,364 т.руб.

2. Современная величина ренты.

Под современной стоимостью потока платежей понимают сумму дисконтированных членов этого потока на некоторый предшествующий момент времени.

Вместо “современная стоимость” и “современная величина” используют также “капитализированная стоимость” и “приведенная величина”.

Современная стоимость потока платежей эквивалентна в финансовом

смысле всем платежам, которые охватывает поток. В связи с этим

данный показатель находит широкое применение в финансовом

анализе.

Расчет рассмотрим на примере. Пусть задолженность погашается

ежегодными платежами с процентами из расчета 40% годовых по 1

млн. рублей в течение 5 лет. Оценить сумму задолженности.

Непосредственный счет задолженности представит собой сумму

последовательности:

А= 1/(1+0,4)+1/(1,4)²+ 1/(1,4)³+ 1/(1,4) ⁴ + 1/(1,4)⁵,

Дисконтированная сумма 1-го платежа составляет R/(1+i),

2-го платежа - R/(1+i)²,

3-го платежа - R/(1+i)³,

4-го платежа - R/(1+i)⁴,

5-го платежа - R/(1+i)⁵.

Таким образом, современная величина представляет собой сумму

геометрической прогрессии со знаменателей 1/(1+i).

А = R(1- (1+i) ^-n

i

=(1- (1+i) ^-n

i является множителем дисконтирования (коэффициентом

приведения) годовой ренты. Краткое обозначение – ап,i, значения множителя табулированы для упрощения расчетов.

А=R* ап,i.

Сумма задолженности приведенного примера равна

А= 1/(1+0,4)+1/(1,4) ²+ 1/(1,4) ³+ 1/(1,4) ⁴+ 1/(1,4)⁵ = 2,035 т.р., 0,714 0,51 0,364 0,26 0,186

А = 1 1-(1+0,4) ^–5 = 2,035 т. р.

0,4

График зависимости ап,i от п показывает, что

• чем выше процентная ставка, тем меньше величина ап,i, соответственно, меньше и современная величина ренты,

• приросте п удаленные величины потока вносят меньший вклад,чем близлежащие величины.

n

В случае, если рента т-кратная, формула расчета дисконтированной величины принимает вид

А = R 1-(1-i/m) ^–nm

i

Для р-кратной ренты справедливо

А = R 1-(1+i/m) ^–nm

(1+i/m) ^m/p -1

Пример 1.

Ежеквартально в течение 2 лет погашается задолженность по 12 тыс. рублей, при ежеквартальном начислении процентов -30% годовых. Оценить сумму задолженности.

А=12*(1-(1+0,3/4)^-4*²)/0,3/4 = 70,29 тыс. рублей

Сумма всех платежей по долгу составляет 12*8 = 96 тыс. рублей. Соответственно, оставшаяся сумма от суммы погашения 96-70,29 = 25,71 - выплаченные суммы по процентам.

Пример 2.

Достаточны ли ежеквартальные выплаты по 1,5 млн. рублей в течение года в конце каждого квартала для того, чтобы выплатить задолженноcть 4 млн. рублей, на которую начисляются 50% годовых ежеквартально (процент сложный).

m=4 p=4 n=1

A=1,5*(1-(1+0,5/4) -4 ) /(0,5/4) = 4,5 млн. рублей. Выплаты достаточны, поскольку платежами по 1,5 млн. рублей может быть погашена большая сумма за­долженности .

т=4, р=4, п=1

Пример 3. Фирмой принято решение о накоплении прибыли по итогам года. В течение 3 лет планируется сформировать фонд 150 тыс. рублей, для чего 41,2 т.р. должны вноситься ежегодно под 20% годовых. Какая сумма потребовалась бы фирме для создания аналогичной сумме фонда, если бы взнос был одноразовым на 3 года под 20% сложных годовых?

Пример 1.