2. Функціональні ряди.

Якщо у ряді

+ + + ··· + + ··· =

члени послідовності , , ..., , ... – функції, то ряд називають функціональним.

Наприклад, функціональними будуть ряди

sin x + sin 2x + ... + sin nx +...,

x + 2x² +3x³ + ... + nxⁿ + ...,

ln x + ln (1 + x) + ln (2+x) + ... + ln (n + x) + ... .

Якщо в функціональний ряд підставити х = х₀, то він перетвориться в числовий. Отриманий при х = х₀ числовий ряд може бути збіжним, або розбіжним.

Точку х = х₀, в якій функціональний ряд перетворюється в збіжний числовий ряд, називають точкою збіжності ряду. Сукупність всіх точок збіжності для даного функціонального ряду називають його областю збіжності.

Очевидно, що в точках збіжності х_і існують значення сум S_і числових рядів, і можна встановити відповідність між точками збіжності та значеннями сум. Отже, сума функціонального ряду є деяка функція f (х), область визначення якої співпадає з областю збіжності функціонального ряду. Кажуть, що функціональний ряд збігається до функції f (х), або що функція f (х) розкладається в ряд. Матимемо:

f (х) = (х) + (х) + (х) + ··· + (х) + ··· =

в області збіжності ряду.

Розглянемо деякі функціональні ряди.

3. Степеневий ряд.

Функціональний ряд виду

називають степеневим рядом.

Тут х – незалежна змінна, , , ... – постійні коефіцієнти ряду, – довільна стала.

Якщо ввести заміну х – = z, то отримаємо ряд

.

Отже, для вивчення степеневих рядів можна обмежитись розглядом ряду

.

Ознака збіжності степеневого ряду (теорема Абеля). Якщо степеневий ряд + х + х² + ... + хⁿ + ... збіжний при х = х₀, то він збіжний, причому абсолютно, при всіх х, для яких виконується умова . Якщо степеневий ряд розбіжний при х = х₀, то він розбіжний для всіх .

Таким чином, із збіжності степеневого ряду в одній точці х₀ слідує його збіжність в цілому інтервалі - х₀ < x < х₀. Число R = називають радіусом збіжності степеневого ряду. Радіус збіжності визначається з співвідношень:

, або ,

які випливають з ознак Даламбера та Коші для числових рядів. Дійсно, по ознаці Даламбера ряд збігатиметься, якщо

.

Отже, при ряд буде абсолютно збіжним. Аналогічно доводиться і друге співвідношення.

Область збіжності степеневого ряду може бути рівна:

а) одній точці х = ;

б) відрізку ( ; );

в) всій числовій осі.

Приклад 7. Дослідити на збіжність степеневий ряд .

Розв’язання: Тут , , тоді радіус збіжності , отже область збіжності - 2 < x < 2.

Дослідимо збіжність ряду в граничних точках. При х = ± 2 степеневий ряд матиме вигляд . Обидва ці ряди розбіжні, бо для них не виконуються необхідні ознаки збіжності, отже область збіжності ряду

(-2; 2).

Приклад 8. Дослідити на збіжність ряд .

Розв’язання: Введемо заміну х – 3 = z, тоді

= ,

запишемо: , .

Радіус збіжності

;

отже область збіжності ряду , або .

Перевіримо збіжність ряду в граничних точках: при х = отримаємо знакопостійний ряд

= ,

який є розбіжним (згідно другої ознаки порівняння з гармонічним рядом); при х = , отримаємо знакозмінний ряд

= ,

який збіжний згідно ознаки Лейбніца. Отже область збіжності ряду є .

Властивості степеневих рядів.

Степеневі ряди мають ряд цікавих властивостей:

1. Сума степеневого ряду є неперервною функцією в області його збіжності.

2. Степеневий ряд можна почленно інтегрувати на будь – якому відрізку з області його збіжності.

3. Степеневий ряд можна почленно диференціювати в будь – якій точці з області його збіжності.