3. Пример постановки задачи.

 Пусть требуется спроектировать кон­тейнер в форме прямоугольного параллелепипеда объемом V = 1 м³, причем желательно израсходовать на его изготовление как можно меньше материала.

При постоянной толщине стенок последнее условие означает, что пло­щадь полной поверхности контейнера должна быть минимальной. Если обозначить через x₁, х₂, х₃  длины ребер контейнера, то задача сведется к минимизации функции

Эта функция в данном случае является целевой, а условие (V — 1) — ограничением равенством, которое позволяет исключить один параметр:

Задача свелась к минимизации функции двух переменных. В результате ре­шения задачи будут найдены значения проектных параметров х₁, x₂, а затем и х₃.

 

 

§ 2. Одномерная оптимизация

1. Задачи на экстремум.

 Одномерная задача оптимизации в общем случае формулируется следующим образом. Найти наименьшее (или наи­большее) значение целевой функции у = f(x), заданной на множестве cr, и определить значение проектного параметра х е а, при котором целе­вая функция принимает экстремальное значение. Существование решения поставленной задачи вытекает из следующей теоремы.

Теорема Вейерштрасса. Всякая функция f(x), непрерывная на отрезке [а, b], принимает на этом отрезке наименьшее и наибольшее зна­чения, т. е. на отрезке [а, b] существуют такие точки х₁ и x₂, что для любого х £ [а,b] имеют место неравенства

Пример. Найти наименьшее и наибольшее значения функции f ’ (x) = x³/3 - х² на отрезке [1,3].

Решение. Вычислим производную этой функции:

Приравнивая ее нулю, найдем критические точки:

Точка х = 0 лежит вне рассматриваемого отрезка, поэтому для анализа оставляем три точки: а = 1, x-i — 2, b = 3. Вычисляем значения функции в этих точках:

Сравнивая полученные величины, находим, что наименьшего значения функция f(x) достигает в точке х = 2, наибольшего — в точке х = 3, т. е.

 

 

2. Методы поиска.

 Численные методы поиска экстремальных значе­ний функции рассмотрим на примере нахождения минимума функции f(x] на отрезке [а, b]. Будем предполагать, что целевая функция унимодальна, т. е. на данном отрезке она имеет только один минимум. Отметим, что в ин­женерной практике обычно встречаются именно такие целевые функции.

Погрешность приближенного решения задачи определяется разностью между оптимальным значением х проектного параметра и приближением к нему х*. Потребуем, чтобы эта погрешность была по модулю меньше заданного допустимого значения е:

П роцесс решения задачи методом поиска состоит в последовательном сужении интервала изменения проектного параметра, называемого интер­валом неопределенности. В начале процесса оптимизации его длина равна b - а, а к концу она должна стать меньше е, т. е. оптимальное значение про­ектного параметра должно находиться в интервале неопределенности — отрезке [x_n,x_n+1], причем x_n+1 - х_п < е. Тогда для выполнения (6.6) в качестве приближения к оптимальному значению можно принять любое x_t Е [x_n,x_n+1], например х_* =x_n„ или  х_*= (x_n+x_n+1)/2. В последнем случае для выполнения (6.6) достаточно выполнения неравен­ства x_n+1 — х_п < 2е.

Наиболее простым способом сужения интервала неопределенности является деление его на некоторое число равных частей с последую­щим вычислением значений целевой функции в точках разбиения. Пусть n — число элементарных отрезков, h = (b — а)/п — шаг разбиения. Вычислим значения целевой функции y_k = f(x_k) в узлах x_k = а + kh (к = 0,1,..., п). Сравнивая полученные значения f(x_k), найдем среди них наименьшее yi = f(x_i).

Число m_n = y_i можно приближенно принять за наименьшее значе­ние целевой функции f(x) на отрезке [а, b]. Очевидно, что близость m_n к минимуму m зависит от числа точек, и для непрерывной функции f(x)т. е. с увеличением числа точек разбиения погрешность в определении минимума стремится к нулю.