21 Вопрос

1.3. Моменты инерции простых сечений.

1. Прямоугольник (рис. 1.5,а). Вычислим момент инерции сечения относительно оси Х0, проходящей через центр тяжести параллельно основанию.

За dA примем площадь бесконечно тонкого слоя dA = bdy. Тогда  Итак,             (1.11)

Аналогично, получим             (1.12)

2. Круг (рис. 1.5,б). Сначала определим полярный момент инерции относительно центра круга 

За dA принимаем площадь бесконечно тонкого кольца толщиной dp 

тогда 

Следовательно,             (1.13)

Теперь легко найдем Ixo. Действительно, для круга согласно формуле (1.9.), имеем Iр = 2Iхо = 2Iуо, откуда             (1.14)

2. Кольцо (рис. 1.5,в). Осевой момент инерции в этом случае равен разности моментов инерции внешнего и внутреннего кругов             (1.15) где c = d/D.

Аналогично полярный момент инерции             (1.16)

2. Треугольник (рис. 1.5,г). Определим момент инерции относительно оси x1, параллельной основанию и проходящей через вершину треугольника 

За dA примем площадь бесконечно тонкой трапеции KBDE, площадь которой можно считать равной площади прямоугольника: dA = bydy, где by - длина прямоугольника.

Легко получить из подобия треугольников by = yb/h; тогда             (1.17)

Определим момент инерции относительно центральной оси; для этого используем формулу (1.10)             (1.18)

Определим момент инерции относительно оси, проходящей через основание:             (1.19)

22 Вопрос

Кручение появится, если неподвижно закрепить, например, левый конец стержня круглого поперечного сечения и приложить к правому концу скручивающий момент ( ) относительно оси стержня z. В стержне появится деформация кручения: одно поперечное сечение повернется на некоторый угол относительно другого (расстояние между сечениями останется прежним, если угол поворота мал). В поперечных сечениях стержня, при кручении, возникнет только одно внутреннее усилие – крутящий момент ( ).

Угол закручивания ( )- угол, на который повернется крайнее правое поперечное сечение стержня относительно неподвижного левого сечения.

23 Вопрос

Стержни (брусья), пластины (оболочки), массивные тела. Внешние силы, действующие на тело, вызывают в нем дополнительные внутренние силы, стремящиеся противо­действовать деформации. Обнаружить возникающие в нагружен­ном теле вн. силы можно, применив метод сечений.- внеш силы, приложенные к отсеченной части тела, уравновешиваются внутр силами, возникающими в плоскости сеч-я и заменяющими действие отброшенной части тела на остальную. В сеч-и возникают внутренние силы, уравновешивающие внеш­ние силы, приложенные к оставленной части. Это позволяет применить, к любой части тела условия равновесия ΣF_ix=0, ΣF_iy=0, ΣF_ix=0, ΣF_iz=0, ΣM_ix=0,..

Для расчета элементов конструкций на прочность, жесткость и устойчивость прежде всего необходимо с помощью м-да сеч-й определить возникающие внутренние силовые факторы. При действии пространственной сис-мы сил из уравнения равновесия можно найти возникающие в поперечном сеч-ии три составляющие силы N_, Q_x и Qy (составляющие главного вектора внутренних сил), направленные по координатным осям, и три составляющие момента М_х, М_у, М_z (составляющие главного момента внутренних сил). Указанные силы и моменты, явля­ющиеся внутренними силовыми факторами (рис. 56, в),соответ­ственно называются: N — продольная сила; Q_x и Q_y — попереч­ные силы; М_х и My — изгибающие моменты; М_z — крутящий момент.

Для определения внутренних силовых факторов: Мысленно провести сеч-е в интересующей нас т-ке и рассм-ть равно­весие оставленной части, составить уравнения равновесия для оставленной части и определить из них значения и направления внутренних силовых факторов. При осевом растяж-и и сжатии вн силы упругости м.б заменены одной продольной силой N.Сдвиг — когда в попереч сечении вн силы упругости приводятся к одной силе в плоскости сечения. При кручении только крутящий момент, если есть изгиб-щий момент — деформация чистого изгиба.

24 вопрос-Эпюра крутящих моментов

Кручение стержня вызывается парами сил (сосредоточенными или распределенными), плоскость действия которых перпендикулярна продольной оси стержня. При кручении в поперечном сечении стержня возникает лишь один силовой фактор – крутящий момент M_к.

Согласно методу сечений величина и направление крутящего может быть найдены из уравнения равновесия моментов относительно оси стержня, составленного для оставленной части. То есть, крутящий момент в сечении численно равен алгебраической сумме моментов пар сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, относительно продольной оси стержня.

Правило знаков для крутящих моментов.

Крутящий момент считается положительным, если при взгляде на сечение со стороны внешней нормали он поворачивает сечение по ходу часовой стрелки и отрицательным — в противном случае. При построение эпюры крутящих моментов положительные значения откладываются вверх от горизонтальной базовой линии, а отрицательные – вниз. 

Это правило знаков условное и не совпадает с принятыми правилами знаков моментов, углов поворота в теоретической механике и математике, поскольку связано не с системой координат, а с видом деформации оставленной части.

Крутящий момент для сечения можно выразить так:

Mк(x)= Mкi+ mi(x) dx 

Распределенный крутящий момент mможет быть постоянной или переменной интенсивности. Для постоянного распределенного момента m это выражение примет вид:

Mк(x)= Mкi+ mi(x) (x−Lmн)− mi(x) (x−Lmк) 

где L_mн и L_mк – расстояние от начала координат до начала и до конца распределенного момента соответственно.

Дифференциальная зависимость внутренних усилий от распределенной нагрузки m:

dM_к = m·dx