17) Збіжність ряду. Необхідна умова збіжність ряду.
Ознаки збіжності рядів — ознаки, що доводять або спростовують збіжність числового ряду. Нехай дано ряд
Частковими сумами цього ряду будуть:
Ряд (1) є збіжним, якщо існує скінченна границя послідовності його часткових сум, тобто
Число S є сумою ряду, отже:
Коли ж границя часткових сум не існує або дорівнює нескінченності, то ряд є розбіжним.
18) Достатні умови збіжності ряду-ознака порівняння.
Перша
ознака порівняння. Нехай 
і 
два
знакододатних ряди, причому для
всіх 
виконується
нерівність 
.
Тоді:
1) якщо збігається ряд , то збігається і ряд ;
2) якщо ряд розбіжний, то і ряд – розбіжний.
Друга
ознака порівняння.
Нехай
і
два
знакододатних ряди. Якщо існує скінченна
відмінна від нуля границя 
,
то ряди збігаються або розбігаються
одночасно.
Для порівняння зручно використовувати такі ряди:
a) 
–
геометричний ряд, що збігається коли 
і
розбігається коли 
;
b) 
–
узагальнений гармонічний ряд, що
збігається коли 
і
розбігається коли
.
Якщо 
ряд 
називають
гармонічним.
19) Достатні умови збіжності ряду-гранична ознака порівняння
Нехай
ряди 
та 
додатні,
а також існує скінчена границя
причому 
,
тоді обидва ряди або одночасно збіжні,
або одночасно розбіжні.
20) Достатні умови збіжності ряду -радикальна ознака Коші
Якщо для числового ряда
з
невід'ємними членами існує таке
число 
, 
,
що, починаючи з деякого номера, виконується
нерівність 
то
даний ряд збіжний.
21) Достатні умови збіжності ряду-ознака Д’Аламбера — ознака збіжності числових рядів:
Якщо для числового ряду
існує таке число 
, 
,
що починаючи з деякого номера
виконується нерівність
то даний ряд абсолютно збігається; якщо ж, починаючи з деякого номера
то ряд розбігається.
22) Достатні умови збіжності ряду-інтегральна ознака Коші
якщо
у відповідність до 
числового
невід’ємного ряду 
поставлена
функція f(x), яка визначена при всіх 
,
є невід’ємною та спадною, то ряд
збігається тоді й тільки тоді, коли
збігається інтеграл 
.
Задача
6.8. Установити,
збігається чи ні ряд 
.
Розв’язання.
Відзначимо, що необхідна ознака збіжності
виконується, оскільки 
.
За інтервальною ознакою Коші маємо
,
а
це означає, що ряд 
збігається.
23) Знакопоперечні ряди. Теорема Лейбніца. Абсолютна та умовна збіжність
Нехай для послідовності 
дійсних
чисел виконуються
умови:
Тоді знакозмінний
ряд: 
збігається.
Абсолютна збіжність числових рядів
Визначення
Ряд 
називають абсолютно
збіжним числовим рядом,
якщо збіжним є ряд 
.
Властивості
із збіжності ряду випливає збіжність ряду .
При дослідженні абсолютної збіжності ряду використовують ознаки збіжності рядів з невід'ємними членами.
Якщо ряд є розбіжним, то для виявлення умовної збіжності числового ряду використовують тонші ознаки:ознака Лейбніца, ознака Абеля, ознака Діріхле.
Умовна збіжність
Ряд
називається умовно
збіжним,
якщо він є збіжним, але не є абсолютно
збіжним,
тобто сума 
існує
(і є скінченною), але 
.
24) Функціональний ряд. Обчислення радіуса збіжності степеневих рядів
Функціональним
рядом називається
ряд складений з членів, які є функціями
від аргументу 
При
кожному конкретному значенні
із
області визначення 
функціональний
ряд перетворюється на числовий.
Якщо
для 
числовий
ряд 
збігається,
то кажуть, що функціональний ряд
збігається в точці 
,
а саму точку називаютьточкою
збіжності.
Множина
всіх значень змінної
,
при яких функціональний ряд збігається
називається областю
збіжності ряду.
На практиці розглядають ряди, областями
збіжності яких є різні інтервали осі 
.
В
точках із області збіжності ряду існують
значення суми ряду 
,
а також можна встановити залежність
між точками збіжності та значеннями
сум. Таким чином, сума функціонального
ряду є функцією 
,
область визначення якої ідентична
області збіжності функціонального
ряду. При цьому, кажуть, що функціональний
ряд збіжний до функції
,
або функція розкладається в ряд
в його області збіжності. Функціональний ряд вигляду
де 
сталі
коефіцієнти, називають степеневим
рядом.
Часто розглядають степеневий ряд більш загального вигляду
де 