11. Стационарная теплопередача через многослойную цилиндрическую стенку.

При теплопередаче через многослойную цилиндрическую стенку необходимо учесть линейные термические сопротивления теплопроводности каждого слоя. Тогда линейная плотность теплового потока равна

(3.45)

После определения линейной плотности теплового потока по (3.45) температура на границе любых двух слоев i и i+1 рассчитывается по формуле

(3.46)

Если в соотношениях (3.45) и (3.46) ₁= и ₂=, то граничные условия третьего рода вырождаются в граничные условия первого рода, а соотношения (3.45) и (3.46) – в (3.36) и (3.37).

12. Стационарная теплопроводность через однослойную цилиндрическую стенку.

П усть задана цилиндрическая стенка (труба) с внутренним диаметром d₁=2r₁ и наружным диаметром d₂=2r₂ , длина которой L (рис. 3.3). Коэффициент теплопроводности материала стенки  является постоянной величиной. На поверхностях стенки заданы постоянные температуры Т_С1 и Т_С2. Внутренние источники тепла отсутствуют q_V=0.

В рассматриваемом случае дифференциальное уравнение теплопроводности (3.4) удобно записать в цилиндрической системе координат:

(3.26)

При этом ось Oz совмещена с осью трубы. Так как температуры на наружной и внутренней поверхностях трубы неизменны, то изотермические поверхности являются цилиндрическими, имеющими с трубой общую ось. Температура изменяется только по радиусу трубы, поэтому имеем

(а)

С учетом (а) для нашего случая соотношение (3.26) имеет вид

(3.27)

Граничные условия:

при r=r₁ T=T_C1; при r=r₂ T=T_C2. (3.28)

Введем новую переменную u=dT/dr в соотношение (3.27)

(б)

Разделив переменные в (б) и проинтегрировав, получим

ln u + ln r = ln C₁. (в)

Потенцируя выражение (в) и переходя к первоначальным переменным, имеем выражение для градиента температуры

(г)

После интегрирования соотношения (г) получим

(д)

(е)

Подставив значения С₁ и С₂ в соотношение (д), получим окончательно поле температуры в цилиндрической стенке при граничных условиях первого рода

(3.29)

Поток тепла, проходящего через любую изотермическую цилиндрическую поверхность площадью F, по закону Фурье равен

Подставляя в это уравнение соотношение (г) с учетом (е) и учитывая, что F=2rL, получим формулу для потока тепла через цилиндрическую стенку

(3.30)

Если отнести этот поток к внутренней поверхности трубы, то получим плотность теплового потока на внутренней поверхности

(3.31)

Если отнести этот поток к наружной поверхности трубы, то получим плотность теплового потока на наружной поверхности

(3.32)

Тепловой поток, отнесенный к единице длины трубы, называется линейной плотностью теплового потока

(3.33)

Эта величина широко используется в расчетах цилиндрических стенок, так как она постоянна в любой точке стенки, в отличие от плотности теплового потока. Зная ее, можно определить плотности теплового потока по соотношению

(3.34)

Величина:

(3.35)

получила название линейного термического сопротивления теплопроводности цилиндрической стенки.