38.Определение и примеры евклидовых пространств

ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО

ЕВКЛИДОВО пространство - пространство, свойства которого изучаются в евклидовой геометрии. В более широком понимании евклидовым пространством называется n-мерное векторное пространство, в котором определено скалярное произведение.

В математике термин евкли́дово простра́нство может обозначать один из двух сходных объектов:

1. Конечномерное вещественное векторное пространство   с введённой на нём нормой

где  . Также называется конечномерным гильбертовым пространством

2. Метрическое пространство, которое является конечномерным векторным пространством   над поле мвещественных чисел с метрикой, введённой по формуле:

где   и 

Наглядными примерами евклидовых пространств могут служить пространства   размерности n = 1 (вещественная прямая) и   размерности n = 2 (комплексная плоскость или евклидова плоскость).

 Определение 18.5   Вещественное линейное пространство, в котором задано скалярное произведение называется евклидовымпространством.         

В трехмерном пространстве модуль вектора равен корню квадратному из скалярного произведения вектора на себя   . В евклидовом пространстве модуль вектора определим аналогично

то есть

В трехмерном пространстве с помощью склярного произведения определялся угол между векторами. В евклидовом пространстве тоже можно определить угол между векторами. Но угол в   -мерном пространстве не имеет существенного значения, кроме одного случая. В трехмерном проcтранстве два вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

        Определение 18.6   Два вектора евклидова пространства называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.         

        Пример 18.5   Пусть   , их координатные столбцы   ,   . Проверьте, являются ли векторы ортогональными.

Решение. Находим скалярное произведение

Следовательно, векторы ортогональны.         

Так как базисные векторы   имеют координатные

столбцы   ,   , ...,   , то несложно проверить, что в ортонормированном базисе   , а   при   , то есть векторы базиса попарно ортогональны.

Если    -- комплексное линейное   -мерное пространство, то в нем тоже можно ввести скалярное произведение, задав его формулой

где черта над   означает комплексное сопряжение.

        Определение 18.7   Комплексное линейное пространство, в котором введено скалярное произведение, называется унитарнымпространством.         

В унитарном пространстве модуль вектора и условие ортогональности вводятся с помощью скалярного произведения так же, как в евклидовом пространстве. В координатной записи

Наглядными примерами евклидовых пространств могут служить пространства:

•  размерности   (вещественная прямая)

•  размерности   (евклидова плоскость)

•  размерности   (евклидово трехмерное пространство)

• Евклидово пространство можно считать современной интерпретацией и обобщением (так как оно допускает размерности больше трех) классической (Евклидовой) геометрии.

Более абстрактный пример:

• пространство вещественных многочленов   степени, не превосходящей  , со скалярным произведением, определенным как интеграл произведения по конечному отрезку (или по всей прямой, но с быстро спадающей весовой функцией, например  )