4.Элементарные преобразования. Приведение матрицы к ступенчатому виду.

Определение.Элементарными преобразованиями матрицы назовем следующие преобразования:

1) умножение строки на число, отличное от нуля;

2) прибавление к одной строке другой строки;

3) перестановка строк;

4) вычеркивание (удаление) одной из одинаковых строк (столбцов);

5) транспонирование;

Те же операции, применяемые для столбцов, также называются элементарными преобразованиями.

С помощью элементарных преобразований можно к какой-либо строке или столбцу прибавить линейную комбинацию остальных строк ( столбцов ).

С помощью этих преобразований матрицу можно привести к ступенчатому виду.

5. Невырожденные матрицы. Обратная матрица.

Определение. Матрица называется вырожденной если определитель составленный из элементов этой матрицы равен нулю., в противном случае невырожденной

Обратные матрицы существуют только для невырожденных матриц.

Определение.Если существуют квадратные матрицы Х и А, удовлетворяющие условию:

XA = AX = E,

где Е - единичная матрица того же самого порядка, то матрица Х называется обратной к матрице А и обозначается А^-1.

Каждая квадратная матрица с определителем, не равным нулю имеет обратную матрицу и притом только одну.

обычно применяют следующую формулу:

,

гдеA_ji- матрица алгебраических дополнений.

То есть для того чтобы найти обратную мактрицу надо выполнить следующие операции:

1. Найти определитель

6. Определители 2 и 3-го порядка и методы их вычисления.

Вычисления определителей второго порядка

Чтобы вычислить определитель матрицы   второго порядка, надо от произведения элементов главной диагонали отнять произведение элементов побочной диагонали:

Правило треугольника

Схематически это правило можно изобразить следующим образом:

Произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми, берется со знаком "плюс"; аналогично, для второго определителя - соответствующие произведения берутся со знаком "минус", т.е.

Разложение определителя по строке или столбцу

Определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения. Обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом есть нули. Строку или столбец, по которой/ому ведется разложение, будет обозначать стрелкой.

Приведение определителя к треугольному виду

С помощью элементарных преобразований над строками или столбцами определитель приводится к треугольному виду и тогда его значение, согласно свойствам определителя, равно произведению элементов стоящих на главной диагонали.

7.Определители( детерминанты).Свойства определителей

Определение.Определителем квадратной матрицы А= называется число, которое может быть вычислено по элементам матрицы по формуле:

detA = , где (1)

М_1к – детерминант матрицы, полученной из исходной вычеркиванием первой строки и k – го столбца. Следует обратить внимание на то, что определители имеют только квадратные матрицы, т.е. матрицы, у которых число строк равно числу столбцов.

Свойство1. Важным свойством определителей является следующее соотношение:

det A = det A^T;

Свойство 2.det ( A  B) = det A det B.

Свойство 3.det (AB) = detAdetB

Свойство 4. Если в квадратной матрице поменять местами какие-либо две строки (или столбца), то определитель матрицы изменит знак, не изменившись по абсолютной величине.

Свойство 5. При умножении столбца (или строки) матрицы на число ее определитель умножается на это число.

Свойство 6. Если в матрице А строки или столбцы линейно зависимы, то ее определитель равен нулю.

Определение: Столбцы (строки) матрицы называются линейно зависимыми, если существует их линейная комбинация, равная нулю, имеющая нетривиальные (не равные нулю) решения.

Свойство 7. Если матрица содержит нулевой столбец или нулевую строку, то ее определитель равен нулю. (Данное утверждение очевидно, т.к. считать определитель можно именно по нулевой строке или столбцу.)

Свойство 8. Определитель матрицы не изменится, если к элементам одной из его строк(столбца) прибавить(вычесть) элементы другой строки(столбца), умноженные на какое-либо число, не равное нулю.

Свойство 9. Если для элементов какой- либо строки или столбца матрицы верно соотношение: d = d₁d₂ , e = e₁e₂ , f = f₁f₂ , то верно: