Пункт 7

7. Сделать точечный и интервальный прогноз для случая расходов на рекламу, равных 5 млн. Руб.

Экономическое прогнозирование на основе построенной модели предполагает, что сохраняются ранее существовавшие взаимосвязи переменных и на период упреждения. Для прогнозирования зависимой переменной результативного признака необходимо знать прогнозные значения всех входящих в модель факторов.

Прогнозные значения факторов подставляют в модель и получают точечные прогнозные оценки изучаемого показателя.

(a + bx_p ± ε)

где

t_крит (n-m-1;α/2) = (8;0.025) = 2.306

Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных значений Y при неограниченно большом числе наблюдений и X_p = 5

Вычислим ошибку прогноза для уравнения y = bx + a

y(5) = 2.185*5 + 35.355 = 46.282

46.282 ± 0.792

(45.49;47.07)

С вероятностью 95% можно гарантировать, что значения Y при неограниченно большом числе наблюдений не выйдет за пределы найденных интервалов.

Вычислим ошибку прогноза для уравнения y = bx + a + ε

(44.23;48.33)

Индивидуальные доверительные интервалы для Y при данном значении X.

(a + bx_i ± ε)

где

t_крит (n-m-1;α/2) = (8;0.025) = 2.306

xi	y = 35.35 + 2.19xi	εi	ymin = y - εi	ymax = y + εi
1.5	38.63	2.19	36.44	40.83
2	39.73	2.11	37.61	41.84
2.5	40.82	2.05	38.77	42.87
3	41.91	2.01	39.9	43.92
3.5	43	1.99	41.02	44.99
4	44.1	1.99	42.11	46.08
4.5	45.19	2.01	43.18	47.2
5	46.28	2.05	44.23	48.33
5.5	47.37	2.11	45.26	49.49

С вероятностью 95% можно гарантировать, что значения Y при неограниченно большом числе наблюдений не выйдет за пределы найденных интервалов.

Пункт 8

8. Построить график линии регрессии с нанесением на него опытных данных.

Задание № 2

Туристическая компания предлагает места в гостиницах приморского курорта. Менеджера компании интересует, насколько возрастает привлекательность гостиницы в зависимости от ее расстояния до пляжа. В таблице представлены данные по 10 гостиницам: X – расстояние от гостиницы до пляжа в километрах, Y – среднегодовой доход гостиницы, млн. руб.

Для исходных данных:

1. Найти уравнение:

(для четных вариантов) экспоненциальной регрессии ,

2. Найти уравнение:

(для четных вариантов) показательной регрессии ,

3. Найти уравнение:

(для четных вариантов) равносторонней гиперболы ,

4. Найти уравнение параболической регрессии .

5. Найти уравнение кубической регрессии .

Вариант	Расстояние от гостиницы до пляжа в километрах (для всех вариантов)
	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0
	Среднегодовой доход гостиницы (по вариантам)
2	31,2	27,0	26,1	26,1	23,1	23,8	22,3	21,4	21,8	22,5

Экспоненциальная модель

Экспоненциальное уравнение регрессии имеет вид y = a e^bx

Система нормальных уравнений.

a•n + b∑x = ∑y

a∑x + b∑x² = ∑y•x

Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу (табл. 1)

x	ln(y)	x2	ln(y)2	x • ln(y)
0.1	3.68	0.01	13.52	0.37
0.2	3.7	0.04	13.66	0.74
0.3	3.71	0.09	13.74	1.11
0.4	3.71	0.16	13.75	1.48
0.5	3.76	0.25	14.16	1.88
0.6	3.75	0.36	14.09	2.25
0.7	3.81	0.49	14.54	2.67
0.8	3.83	0.64	14.69	3.07
0.9	3.86	0.81	14.89	3.47
1	3.9	1	15.23	3.9
5.5	37.71	3.85	142.27	20.95

Для наших данных система уравнений имеет вид

10a + 5.5 b = 37.71

5.5 a + 3.85 b = 20.95

Домножим уравнение (1) системы на (-0.55), получим систему, которую решим методом алгебраического сложения.

-5.5a -3.03 b = -20.74

5.5 a + 3.85 b = 20.95

Получаем:

0.82 b = 0.21

Откуда b = 0.2488

Теперь найдем коэффициент «a» из уравнения (1):

10a + 5.5 b = 37.71

10a + 5.5 • 0.2488 = 37.71

10a = 36.34

a = 3.6344

Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 0.2488, a = 3.6344

Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):

y = e^3.63437484e^0.2488x = 37.87817e^0.2488x

Показательное уравнение регрессии имеет вид y = a b^x

Система нормальных уравнений.

a•n + b∑x = ∑y

a∑x + b∑x² = ∑y•x

Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу (табл. 1)

x	ln(y)	x2	ln(y)2	x • ln(y)
0.1	3.68	0.01	13.52	0.37
0.2	3.7	0.04	13.66	0.74
0.3	3.71	0.09	13.74	1.11
0.4	3.71	0.16	13.75	1.48
0.5	3.76	0.25	14.16	1.88
0.6	3.75	0.36	14.09	2.25
0.7	3.81	0.49	14.54	2.67
0.8	3.83	0.64	14.69	3.07
0.9	3.86	0.81	14.89	3.47
1	3.9	1	15.23	3.9
5.5	37.71	3.85	142.27	20.95

Для наших данных система уравнений имеет вид

10a + 5.5 b = 37.71

5.5 a + 3.85 b = 20.95

Домножим уравнение (1) системы на (-0.55), получим систему, которую решим методом алгебраического сложения.

-5.5a -3.03 b = -20.74

5.5 a + 3.85 b = 20.95

Получаем:

0.82 b = 0.21

Откуда b = 0.2488

Теперь найдем коэффициент «a» из уравнения (1):

10a + 5.5 b = 37.71

10a + 5.5 • 0.2488 = 37.71

10a = 36.34

a = 3.6344

Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 0.2488, a = 3.6344

Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):

y = e^3.63437484*e^0.2488x = 37.87817*1.28249^x

Гиперболическое уравнение регрессии имеет вид y = b/x + a

Система нормальных уравнений.

a•n + b∑(1/x) = ∑y

a∑1/x + b∑(1/x²) = ∑y/x

Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу (табл. 1)

1/x	y	1/x2	y2	y/x
10	39.5	100	1560.25	395
5	40.3	25	1624.09	201.5
3.33	40.7	11.11	1656.49	135.67
2.5	40.8	6.25	1664.64	102
2	43.1	4	1857.61	86.2
1.67	42.7	2.78	1823.29	71.17
1.43	45.3	2.04	2052.09	64.71
1.25	46.2	1.56	2134.44	57.75
1.11	47.4	1.23	2246.76	52.67
1	49.5	1	2450.25	49.5
29.29	435.5	154.98	19069.91	1216.16

Для наших данных система уравнений имеет вид

10a + 29.29 b = 435.5

29.29 a + 154.98 b = 1216.16

Домножим уравнение (1) системы на (-2.93), получим систему, которую решим методом алгебраического сложения.

-29.29a -85.82 b = -1276.02

29.29 a + 154.98 b = 1216.16

Получаем:

69.16 b = -59.85

Откуда b = -0.8585

Теперь найдем коэффициент «a» из уравнения (1):

10a + 29.29 b = 435.5

10a + 29.29 • (-0.8585) = 435.5

10a = 460.65

a = 46.0647

Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = -0.8585, a = 46.0647

Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):

y = -0.8585 / x + 46.0647

Уравнение параболической регрессии имеет вид y = a₂x² + a₁x + a₀

Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов.

Система уравнений МНК:

a₀n + a₁∑x + a₂∑x² = ∑y

a₀∑x + a₁∑x² + a₂∑x³ = ∑yx

a₀∑x² + a₁∑x³ + a₂∑x⁴ = ∑yx²

x	y	x2	y2	x y	x3	x4	x2 y
0.1	39.5	0.01	1560.25	3.95	0.001	0.0001	0.4
0.2	40.3	0.04	1624.09	8.06	0.008	0.0016	1.61
0.3	40.7	0.09	1656.49	12.21	0.027	0.0081	3.66
0.4	40.8	0.16	1664.64	16.32	0.064	0.0256	6.53
0.5	43.1	0.25	1857.61	21.55	0.13	0.0625	10.78
0.6	42.7	0.36	1823.29	25.62	0.22	0.13	15.37
0.7	45.3	0.49	2052.09	31.71	0.34	0.24	22.2
0.8	46.2	0.64	2134.44	36.96	0.51	0.41	29.57
0.9	47.4	0.81	2246.76	42.66	0.73	0.66	38.39
1	49.5	1	2450.25	49.5	1	1	49.5
5.5	435.5	3.85	19069.91	248.54	3.03	2.53	178

Для наших данных система уравнений имеет вид

10a₀ + 5.5a₁ + 3.85a₂ = 435.5

5.5a₀ + 3.85a₁ + 3.03a₂ = 248.54

3.85a₀ + 3.03a₁ + 2.53a₂ = 178

Получаем a₂ = 7.955, a₁ = 2.177, a₀ = 39.29

Уравнение регрессии:

y = 7.955x²+2.177x+39.29

Уравнение кубической регрессии:

y = -1,2821 x³+10,07x²+1,2016x+39.4

Уравнение кубической регрессии является наилучшим, так как коэффициент детерминации самый большой 0,9805