5. Теоремы о производной суммы, произведения и частного двух функций. Следствия. Примеры.

6. Производная сложной функции. Примеры.

На практике с производной сложной функции приходится сталкиваться очень часто, я бы даже сказал, почти всегда, когда Вам даны задания на нахождение производных.

Смотрим в таблицу на правило (№5) дифференцирования сложной функции:

 

Разбираемся. Прежде всего, обратим внимание на запись  . Здесь у нас две функции –   и  , причем функция  , образно говоря, вложена в функцию  . Функция такого вида (когда одна функция вложена в другую) и называется сложной функцией.

Функцию   я буду называть внешней функцией, а функцию   – внутренней (или вложенной) функцией.

7. Производная обратной функции. Примеры. Таблица производных.

Теорема (о дифференцировании обратной функции)

Для дифференцируемой функции с производной, отличной от нуля, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции, т.е

,

8. Понятие касательной к графику функции. Геометрический смысл производной.

Геометрический смысл производной. Производная в точке x₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции  y=f(x) в этой точке

Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке x₀ :

9. Производная степенно-показательной функции. Логарифмическая производная. Примеры.

С помощью логарифмического дифференцирования:

Применяя формулу:

10. Производные высших порядков. Примеры.

Вот функция:   и вот её первая производная:

Нетрудно даже догадаться, что вторая производная – это производная от 1-й производной:

В принципе, вторую производную уже считают производной высшего порядка.

Аналогично: третья производная – это производная от 2-й производной:

Четвёртная производная – есть производная от 3-й производной:

Пятая производная:  , и очевидно, что все производные более высоких порядков тоже будут равны нулю:

11. Параметрическое задание кривых. Параметрические уравнения окружности, эллипса, циклоиды. Параметрическое задание функции. Примеры функций, заданных параметрически.

12. Производные первого и второго порядка параметрически заданной функции. Примеры.

Зависимость функции y от аргумента x может осуществляться через посредство третьей переменной t, называемой параметром:

В этом случае говорят, что функция y от x задана параметрически. Параметрическое задание функции удобно тем, что оно дает общую запись для прямой и обратной функций.  Предположим, что на некотором промежутке функции x=φ(t) и y=ψ(t) имеют производные, причем φ’(t)≠0. Кроме того, для x=φ(t) существует обратная функция x^-1 = t(x) (производная обратной функции равна обратной величине производной прямой функции). Тогда y(x)=ψ(t(x)) – сложная функция и ее производная: .

Производную тоже запишем в параметрической форме:

13. Геометрический и механический смысл дифференциала. Дифференциалы суммы, произведения и частного функций. Таблица дифференциалов. Примеры.

Для этого проведем к графику функции у=ƒ(х) в точке М(х; у) касательную МТ и рассмотрим ординату этой касательной для точки х+∆х (см. рис. 138). На рисунке  АМ =∆х, |AM₁|=∆у. Из прямоугольного треугольника МАВ имеем:

Но, согласно геометрическому смыслу производной, tga=ƒ'(х). Поэтому АВ=ƒ'(х)•∆х.

Сравнивая полученный результат с формулой (24.1), получаем dy=АВ, т. е. дифференциал функции у=ƒ(х) в точке х равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда х получит приращение ∆х.

Таблица дифференциалов