Частотные характеристики

В теории и практике систем автоматического управления наибольшее применение находят амплитудно-фазовые частотные характеристики (АФХ или их иногда называют годографами Найквиста), логарифмические частотные характеристики (диаграммы Боде) и амплитудные частотные характеристики. Для их расчета и построения в Control System Toolbox включены соответствующие функции.

Построение частотного годографа Найквиста осуществляется с помощью группы функций nyquist:

nyquist(sys),

nyquist(sys,dw),

где sys – непрерывная или дискретная lti-модель любого подкласса;

dw={Wmin, Wmax} – диапазон частот;

Wmin, Wmax – соответственно минимальная и максимальная частоты.

Частотный диапазон можно также задать с помощью массива конкретных частот dw=[w1,w2,…,wn], где n – число частот.

Для создания логарифмически распределенного вектора частот используется команда logspaсe. Эта функция возвращает вектор-строку логарифмически возрастающих частот:

logspaсe(log10(Wmin), log10(Wmax))

logspaсe(log10(Wmin), log10(Wmax), N),

где N – число точек в диапазоне частот (по умолчанию N=50).

Основной функцией является nyquist(sys), в которой частотный диапазон определяется автоматически по минимальному и максимальному значениям и массива нулей и полюсов lti-модели. Если последняя содержит астатизм, то выдается предупреждающее сообщение, что на нулевой частоте характеристика равна бесконечности (неопределенное значение). Поэтому в этом случае целесообразно использовать функцию вида nyquist(sys,dw). В практических задачах функция nyquist наиболее часто применяется для построения годографа разомкнутой САУ с целью исследования устойчивости замкнутой системы с помощью критерия Найквиста.

Для дискретных систем из-за периодичности частотной характеристики АФХ рассчитывается в диапазоне от нуля до частоты Найквиста ( ). Если период T_s неспецифицирован, то по умолчанию принимается T_s = 1.

Пример 3.8. Построение АФХ разомкнутой системы с ПФ W(s) (рис.3.2).

>> nyquist(w)

Рис.2.2. Амплитудно-фазовая

Рис. 3.2. Амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы

!! Задание 3.8. Постройте годограф Найквиста дискретной САУ по ПФ разомкнутой системы D(z).

Если требуется построить годографы Найквиста для нескольких систем в одних координатах, то можно использовать функцию nyquist в более общих формах:

nyquist(sys1, sys2,… ,sysN)

nyquist(sys1, sys2,… ,sysN, dw)

nyquist(sys1, 'plotstyle1',… ,sysN, 'plotstyleN'),

где 'plotstyleK' – аргумент, определяющий стиль линии, т.е. цвет, тип и метки годографа K-ой lti-модели.

Примечание. Задание стиля осуществляется в соответствии с правилами оформления графиков в MATLAB – в виде набора трех символьных маркеров, заключенных в апострофы. Один из них определяет тип линии (табл. 3.1), другой – цвет (табл. 3.2), третий – тип метки, называемой чаще маркером (табл. 3.3). При этом можно указывать не все три маркера. В этом случае действуют маркеры, установленные по умолчанию. Порядок маркеров в строке стиля не регламентирован, т.е. может быть произвольным. Например, стили ’b*–’ и ’–*b’ являются эквивалентными.

Таблица 3.1

Тип линии

Маркер	Тип линии
–	непрерывная
- –	штриховая
:	пунктирная
–.	штрихпунктирная

Таблица 3.2

Цвет линии

Маркер	Цвет линии
c	голубой (cean)
m	фиолетовый (magenta)
y	желтый (yellow)
r	красный (red)
g	зеленый (green)
b	синий (blue)
w	белый (white)
k	черный (black)

Таблица 3.3

Тип метки

Маркер	Тип метки
∙	точка
+	плюс
	звездочка
о	кружок
х	крестик

Пример 3.9. Построение АФХ разомкнутой системы соответственно с ПФ W(s) и 0.5W(s) в одних координатах комплексной плоскости с пометкой годографа W(s) маркером о, а годографа 0.5W(s) - маркером х (рис.3.3).

>> nyquist(w,'-o',0.5*w,'x-')

Рис. 2.3. Маркированные годографы Найквиста

!! Задание 3.9. Постройте годографы Найквиста для разомкнутой дискретной системы с ПФ D(z) и 0.7D(z), пометив годограф D(z) маркером +, а годограф 0.7D(z) – маркером *.

Имеются две формы вызова функции nyquist, которые применяются для расчета годографа Найквиста без его построения:

[re,im,w]= nyquist(sys)

[re,im,w]= nyquist(sys,dw)

где re,im – соответственно векторы значений вещественной и мнимой частей частотной передаточной функции; w – вектор вычисленных частот ( при необходимости его можно опустить).

Пример 3.10. Расчет значений действительной и мнимой частотных характеристик разомкнутой системы с ПФ W(s) в частотном диапазоне 1 - 30 рад/с.

>> [Re,Im]= nyquist(w,logspace(log10(1),log10(30),5))

Re(:,:,1) = -2.8548 Re(:,:,2) = -0.8272 Re(:,:,3) = -0.3703 Re(:,:,4) = -0.1267 Re(:,:,5) = 0.0214

Im(:,:,1) = -2.4108 Im(:,:,2) = -0.8645 Im(:,:,3) = -0.2049 Im(:,:,4) = 0.0310 Im(:,:,5) = -0.0070

!! Задание 3.10. Вычислите значения параметров АФХ для разомкнутой дискретной системы с ПФ D(z) в диапазоне частот от 0 до π/Т_s.

Построение логарифмических частотных характеристик (ЛЧХ) осуществляется с помощью функции bode, которая как и функция nyquist имеет несколько форм обращения:

bode(sys)

bode(sys,dw)

bode (sys1, sys2,… ,sysN)

bode (sys1, sys2,… ,sysN, dw)

bode (sys1, 'plotstyle1',… ,sysN, 'plotstyleN')

[mag, phase, w]= bode(sys)

Здесь sys – непрерывная или дискретная lti-модель;

mag, phase, w – соответственно векторы амплитуд, фаз (в градусах) и частот (рад/с).

Все команды, кроме последней, осуществляют построение диаграмм Боде, представляющих совокупность двух частотных характеристик в логарифмическом масштабе: логарифмической амплитудно-частотной характеристики (ЛАЧХ) и логарифмической фазо-частотной характеристики (ЛФЧХ).

Пример 3.11. Построение логарифмических частотных характеристик для системы, заданной ПФ W(s) (рис.3.4).

>> bode(w);grid on

Рис. 3.4. Логарифмические частотные характеристики системы

!! Задание 3.11. Постройте диаграмму Боде для разомкнутой дискретной системы с ПФ D(z).

Использование других вариантов функции bode аналогично функции nyquist.

Пример 3.12. Расчет параметров ЛЧХ для разомкнутой системы с ПФ W(s)

>> [Mag12,Phase12,W]=bode(w,[0.5,1,4,8,17])

Mag12(:,:,1) =

12.7870

Mag12(:,:,2) =

3.7365

Mag12(:,:,3) =

0.6285

Mag12(:,:,4) =

0.2531

Mag12(:,:,5) =

0.0974

Phase12(:,:,1) =

-146.7687

Phase12(:,:,2) =

-139.8197

Phase12(:,:,3) =

-141.4908

Phase12(:,:,4) =

-167.2469

Phase12(:,:,5) =

-214.7002

W =

0.5000

1.0000

4.0000

8.0000

17.0000

!! Задание 3.12. Постройте таблицу значений амплитуды и фазы от частоты для разомкнутой дискретной системы с ПФ D(z).

Очень часто требуется определять запасы устойчивости системы по амплитуде (модулю) и фазе. Из теории автоматического управления известно, что запас устойчивости по модулю равен значению амплитудной частотной характеристики (АЧХ) на частоте Wc, при которой фазовая частотная характеристика (ФЧХ) имеет значение -180⁰, а запас по фазе – значение разности между ФЧХ и - 180⁰ на частоте среза Wcр. Для определения этих параметров используется функция margin:

margin(sys)

[Gm, Pm, Wc, Wcp]= margin(sys)

Здесь sys – непрерывная или дискретная lti-модель;

Gm – запас по модулю на частоте Wc;

Pm – запас по фазе на частоте среза Wcp.

Команда margin(sys) строит диаграмму Боде с указанием запасов устойчивости, а функция [Gm, Pm, Wc, Wcp]= margin(sys) рассчитывает значения Gm, Pm, Wc и Wcp без построения логарифмических частотных характеристик.

Пример 3.13. Определение запасов устойчивости непрерывной системы с ПФ разомкнутой системы W(s) (рис.3.5).

>> margin(w)

Рис. 3.5. Диаграмма Боде, построенная с помощью функций margin

!! Задание 3.13. Рассчитайте значения запасов устойчивости по модулю и фазе дискретной системы с ПФ разомкнутой системы D(z) без построения ЛЧХ.

При проектировании САУ часто используется показатель колебательности, который определяется в виде отношения максимального значения модуля частотной характеристики замкнутой системы к его величине на нулевой частоте (коэффициенту передачи системы).

Максимальное значение модуля частотной характеристики связано с нормой типа :

для непрерывных систем соотношением

для дискретных систем - соотношением

В связи с этим была составлена и включена в пакет Control System Toolbox функция norm в следующих формах:

normsys = norm(sys, inf)

normsys = norm(sys, inf, tol)

[ninf, fpeak]= norm(sys, inf),

где normsys – максимальное значение АЧХ lti-модели sys;

inf – идентификатор нормы ;

tol – точность расчета нормы (по умолчанию tol=1е-2);

ninf - максимальное значение модуля частной характеристики на частоте fpeak.

При этом, если объект sys имеет астатизм, то максимальное значение модуля АЧХ равно бесконечности.

Пример 3.14. Расчет максимального значения АЧХ динамической системы с ПФ замкнутой системы Ф(s).

>> [Am, Fm]=norm(f, inf)

Am =

13.7209

Fm =

1.7976

!! Задание 3.14. Определите значение показателя колебательности дискретной САУ с ПФ замкнутой системы Т(z), учитывая, что ее коэффициент передачи равен единице.