6) Правила дифференцирования скалярных функций.

Теорема 5.1(2): 1) Если функция определяется равенством: , то она дифференцируема в каждой точке пространства и выполняется равенство: и . 2) Если функция определяется равенством: , то она дифференцируема в каждой точке пространства и выполняется равенство: . И при этом в стандартном базисе. 3) Если функция определяется равенством: , то и при этом .

Док-во:

Пункт 1.Функция – линейная, и поэтому дифференцируема, а ее дифференциал, следовательно, совпадает с ней. Это следует из пункта 2. Но можно убедиться в сказанном непосредственно. Для этого рассмотрим произвольный вектор . . Очевидно, что это равенство – условие дифференцируемости. . Дифференциал функции равен: . Очевидно, что его можно записать иначе: . Тогда: .

Пункт 2.Докажем дифференцируемость функции в точке . , тогда: . Положим: . Имеет место неравенство: . Заметим, что . Значит 5.10 можно рассмотреть как условие дифференцируемости функции . Ее дифференциал равен: . Равенство можно переписать: . . .

Пункт 3 доказывается аналогично.

Теорема доказана.

7) Частные производные.

Приступим к определению производной функции по одной из переменных. Пусть дана функция . Если существует предел: . То он называется й частной производной или производной й переменной и обозначается: . Если в ряду индексов переменных, по которым осуществляется дифференцирование встречаются различные индексы, то такая производная называется смешанной.

Теорема 6.4: Пусть функция имеет всевозможные частные производные на открытом множестве, содержащем точку . Если производная непрерывна в точке , то функция дифференцируема в этой точке.

Док-во: Достаточно ограничиться случаем, когда . Пусть . Имеет место равенство: ). В каждой строке этого равенства применим теорему Лагранжа. Для строки соответствующее равенство выглядит: . Значение расположено между и . При этом, . В силу непрерывности частных производных можно написать соотношение: . Последнее равенство подставим в каждую строку равенства 6.4. Получим: . Первая сумма представляет собой линейную функцию , а вторая - . Следовательно, последнее равенство – это условие дифференцируемости функции в точке .

Теорема доказана.

8) Непрерывно дифференцируемые функции.

Функция называется непрерывно дифференцируемой в точке если на некотором открытом множестве она имеет всевозможные частные производные , непрерывные в самой точке . Если функция непрерывно дифференцируема в каждой точке множества, то говорят, что она непрерывно дифференцируема на всем множестве .

Теорема 7.1: Пусть функции непрерывно дифференцируемы на множестве и пусть функция непрерывно дифференцируема в точках . Тогда функция , определенная равенством: , дифференцируема в точке и ее частные производные находятся по формулам: .

Док-во: Определим вектор функцию равенством: . Тогда очевидно, что функция представляет собой композицию: . Функция дифференцируема в точке по теореме о сложной функции, и по той же теореме мы получаем равенство: . Здесь, выражение слева – матрица . Ее i-й элемент является частной производной . Выражение справа – также матрица , которая в й позиции представляет собой правую часть равенства из теоремы 7.1. .

Теорема доказана. Данная теорема представляет собой правило нахождения частных производных сложной функции.

Лемма 7.1: Пусть функция непрерывна в параллелепипеде и непрерывно дифференцируема внутри него, причем ее всевозможные частные производные удовлетворяют неравенству: . Тогда для любых выполняется неравенство: .