Свойства энергетических спектров случайных процессов

1. , что непосредственно следует из его определения (4.1). Из этого факта и соотношения (4.3) вытекает важное следствие для корреляционной функции – она является положительно определенной, т.е. имеет неотрицательное преобразование Фурье.

2. – четная функция.

.

На этом свойстве основано понятие одностороннего энергетического спектра, существующего только в области положительных частот

.

3.

4.

5. Нормированный энергетический спектр

,

.

Белый шум N(t)

Энергетический спектр белого шума ( ) равномерен в бесконечной полосе частот (рис. 4.5).

Корреляционная функция белого шума (рис. 4.6)

,

здесь использовано одно из определений дельта-функции

G(f), G_O(f)

N_O G_O(f)

G(f) N = N_O/2

0 f

Рис. 4.5. Энергетический спектр белого шума

.

И з этих результатов вытекает статистическая независимость любых сколь угодно близких сечений такого процесса и его неограниченная дисперсия (мощность)

B_N()

0. 

Рис. 4.6. Корреляционная функция белого шума

.

12) Сформулируйте задачу оптимального приема дискретных сообщений.

Дано:

1. Источник дискретных сообщений. Это значит, что известен ансамбль передаваемых сообщений

^{, где m – объем алфавита источника}

и их статистика (распределение вероятностей) .

2. Модулятор. Это значит, что известны правила преобразования каждого сообщения в непрерывный сигнал и длительность сигнала T

b_i  s_i(t); i = 1, 2,…, m; t  (0, T).

3. Непрерывный канал. Канал задается своей математической моделью, описывающей связь его реакции Z(t) с воздействием s_i(t) и канальными помехами N(t), например

4. Тактовая синхронизация осуществляется идеально. Вопросы синхронизации не рассматриваются в рамках курса ТЭС, поэтому здесь и в дальнейшем всегда будем считать, что границы между сигналами s_i(t) в приемнике определяются точно, иначе говоря, в нем осуществляется дискретизация времени функцией (t-kT), при которой границы тактов совпадают с границами сигналов.

Требуется:

Определить правило решения (решающую схему) вида

,

т.е. указать, каким образом на основе анализа принятой реализации z(t) СП Z(t) на каждом интервале Т следует принимать решение о переданном символе b_i (при j = i имеет место правильный прием, иначе (при j ≠ i) – ошибочный).

13) Дайте геометрическую трактовку задаче оптимального приема дискретных сообщений. Что такое идеальный (оптимальный) приемник дискретных сообщений?

Д адим геометрическую трактовку этой постановке задачи (рис. 6.1). Совокупность всех возможных реализаций z(t) образует пространство принимаемых колебаний (обычно бесконечномерное пространство Гильберта L₂(T)) в котором присутствуют m различных векторов передаваемых сигналов s_i(t) (i = 1, 2,…, m). Выбор правила решения таким образом сводится к разбиению этого пространства на m непересекающихся областей , каждая из которых соответствует принятию решения о передаче конкретного сообщения b_i (сигналом s_i(t)). На рис. 6.1. показаны две ситуации: 1) конец вектора колебания попадает в область отведенную под решение о передаче сообщения b_k сигналом s_k(t), что соответствует правильному приему; 2) конец вектора колебания попадает в область , отведенную под решение о передаче сообщения b_j сигналом s_j(t), что соответствует ошибочному приему.

Разные правила решения (разные приемные устройства) различаются способом разбиения пространства принимаемых колебаний на области . В этой связи возникает задача наилучшего разбиения, которое, очевидно, всегда существует в определенном смысле. Например, если сообщение b_i передается чаще сообщения b_j и важно , чтобы как можно меньше передаваемых символов принимались ошибочно, то следует область расширить за счет области . Наилучшее разбиение пространства принимаемых сигналов (оптимизация решающей схемы) может быть найдено на основе критерия качества приема, разработка которого требует отдельного рассмотрения на основе теории статистический решений.

14) Что понимают под потенциальной помехоустойчивостью приема дискретных сообщений? В чем суть теории потенциальной помехоустойчивости? Когда и кем были заложены ее основы? Какой смысл вкладывают в понятие критерия качества приема дискретных сообщений? Перечислите известные Вам критерии. В чем суть критерия идеального наблюдателя (критерия Котельникова)?

В такой постановке задача приема дискретных сообщений в канале с аддитивной, нормальной помехой была решена В.А. Котельниковым (1946 г.), заложившим основы теории потенциальной помехоустойчивости. Приемник, реализующий наилучшее разбиение пространства принимаемых сигналов по выбранному критерию качества приема, Котельников назвал идеальным, а достигаемую им помехоустойчивость, при которой обеспечивается максимум средней вероятности правильного приема при заданной модуляции, –­­­ потенциальной помехоустойчивостью. Мы будем в дальнейшем такой идеальный приемник называть оптимальным демодулятором, как это часто принято в современной теории связи.

Теория потенциальной помехоустойчивости конструктивна, т.к. позволяет не только определить пределы достигаемой помехоустойчивости, но и указывает пути реализации соответствующих демодуляторов.