Лекция 6. Распределение молекул по энергиям. Распределение Больцмана. Барометрическая формула

Распределение молекул по их кинетическим энергиям поступательного движения – это распределение по величине . Поскольку вероятность наличия у молекулы скорости в интервале равна

, (44)

то, разделив и умножив правую часть этого равенства на dε, получим

. (45)

Учтем, что ;  . Подставим в F(υ) квадрат скорости и в (45) :

. (46)

Распределение Больцмана. В отсутствие внешних сил средняя концентрация молекул системы в состоянии равновесия всюду одинакова. Если газ находится во внешнем силовом поле, то все молекулы испытывают действие сил со стороны этого поля и поэтому стремятся занять положение с минимумом потенциальной энергии. Однако этому мешает хаотическое тепловое движение, которое стремится

91

разбросать молекулы равномерно. В результате возникает некоторое распределение молекул по концентрациям вдоль линий действия поля. Это распределение мы и будем искать. Пусть газ находится во внешнем потенциальном поле, силы которого направлены вертикально вниз. Направим ось z вертикально вверх (рис.13). Выделим в толще газа вертикальный столб сечением , а в этом столбе выделим горизонтальный слой толщиной dz на высоте z, где давление равно р. Учитывая действие сил поля вниз, можно утверждать, что с высотой давление уменьшается,  р>p+dp (давление на высоте z+ dz),  dp<0. Запишем условие равновесия выделенного слоя:

,

где , как проекция силы потенциального поля. Следовательно, . Считая газ идеальным, можно положить , 

,  ,

или . Проинтегрируем последнее выражение:

,  , 

считая, что при n=n_o потенциальная энергия U_o=0, окончательно получим распределение Больцмана

. (47)

Барометрическая формула. Рассмотрим изотермическую атмосферу в однородном поле сил тяжести (например, не слишком высоко от поверхности Земли, где поле можно считать приблизительно однородным). В этом поле потенциальная энергия молекулы массой m на высоте h равна , поэтому распределение Больцмана принимает вид

92

. (48)

Поскольку ,  p n,  получим барометрическую формулу

. (49)

Умножив числитель и знаменатель в показателе экспоненты на число Авогадро, получим еще одно выражение для барометрической формулы.

, (50)

Существенное замечание: при выводах мы предполагали, что температура не зависит от высоты, т.е. использовали модель изотермической атмосферы. На самом деле температура заметно уменьшается с высотой, учет чего сложен. Отсюда выясняется область применимости барометрической формулы: она оценивает уменьшение давления в пределах высот, на которых температура падает несущественно.

Лекция 7. Явления переноса: теплопроводность, диффузия, вязкое трение

С редняя длина свободного пробега молекул. Длиной свободного пробега λ называется расстояние, которое молекула пробегает между двумя последовательными столкновениями. Поскольку у молекул существует распределение по скоростям, то и длина свободного пробега может у разных молекул быть различной. Поэтому логично ввести среднюю длину свободного пробега < λ >. Рассмотрим движение одной (тонированной на рис.14) молекулы. За время t

эта молекула пролетит расстояние <>t и столкнется со всеми молекулами,

93

центры которых отстоят от ее траектории на расстояниях не больших, чем диаметр молекулы d. Значит, эта молекула столкнется со всеми молекулами, центры которых лежат внутри цилиндра радиуса d и высоты <>t.

Если концентрация молекул n, то внутрь цилиндра попадет их количество, равное произведению концентрации на объем цилиндра nd²<>t. Именно такое количество столкновений  в среднем молекула испытает за время t: = nd²<>t. Поскольку другие молекулы тоже движутся, то вместо средней скорости <> в последнюю формулу следует поставить среднюю относительную скорость их движения, которая равна . Таким образом, среднее число столкновений равно

= nd²<>t.

Если мы на эту величину разделим расстояние <>t, то и получим среднюю длину свободного пробега:

, или

. (51)

На самом деле, предположение о молекулах как об упругих шариках излишне примитивно. Столкновение на микроуровне представляет собой сложный комплекс взаимодействий не только механической природы. Поэтому величина d в формуле (51) представляет собой «эффективный диаметр», т.е. минимальное расстояние, на которое сближаются центры двух молекул. Экспериментально проще измерить < λ >, и тогда из формулы (51) можно найти эффективный диаметр:

. (52)

94

Уравнение переноса. Если система находится в неравновесном состоянии, то параметры ее состояния будут меняться со временем в различных частях самой системы. Процессы, связанные с переносом физических величин в объеме вещества, называют явлениями переноса. К явлениям переноса относятся диффузия (перенос массы), теплопроводность (перенос внутренней энергии), внутреннее трение (перенос импульса).

Все перечисленные явления переноса в своей основе описываются похожими уравнениями. Поэтому можно рассмотреть сначала математическую основу явлений переноса абстрактно.

Пусть вдоль оси х может переноситься физическая величина А. Это значит, производная . Подсчитаем число N молекул, пересекающих за время t площадку S, перпендикулярную оси х. Это число равно числу молекул в параллелепипеде на рис.15, при условии, что они летят вдоль ох со средней скоростью <>: . Единицу площади за единицу времени пересекают молекул. Наличие явления переноса означает, что молекулы, летящие вправо, и молекулы, летящие влево, имеют разные А. В итоге, мерой М(А) переноса величины А служит разность величин, переносимых влево и вправо:

М(А)= - . (53)

Перед прохождением через площадку S после последнего столкновения проходят путь, равный <λ>, поэтому слева от площадки А есть функция х- <λ>, а справа - функция х+ <λ>, где х – координата площадки. С учетом этого (53)

95

можно переписать так:

М(А)= .

Так как ; и , 

М(А)= . (54)

Это и есть уравнение переноса в общем случае. Теперь перейдем к частным видам этих явлений.

Диффузия в газе. Диффузией называется перенос газа от мест с большей плотностью в места с меньшей плотностью. Пусть плотность зависит только от координаты х. Тогда плотность потока массы j (масса, переносимая в единицу времени через единицу площадки S) равна

. (55)

Это – экспериментальный закон Фика, или уравнение диффузии. Минус показывает, что перенос массы происходит в направлении убывания плотности. В данном случае мерой переноса является величина j, а переносимой величиной – масса молекул, пропорциональная концентрации. Поэтому уравнение переноса (54) можно записать в виде:

.

Сравнивая последнее выражение с (55), получим выражение для коэффициента диффузии:

,

96

что после подстановки средних величин дает:

, (56)

откуда следует, что коэффициент диффузии прямо пропорционален корню квадратному из температуры и обратно пропорционален концентрации, а, следовательно, и давлению.

Теплопроводность газа возникает вследствие неодинаковой температуры в различных частях объема газа. Быстрые молекулы, попадая из горячих частей объема газа в холодные, отдают последним при столкновениях часть своей энергии. Следовательно, теплопроводность есть перенос внутренней энергии от теплых частей объема газа к холодным. Пусть температура газа зависит только от х. Из опыта установлен закон Фурье (уравнение теплопроводности):

, (57)

где q – плотность потока тепла (количество тепла, переносимое в единицу времени через единицу площади, перпендикулярной ох),

κ – коэффициент теплопроводности.

Минус указывает, что перенос тепла происходит в направлении уменьшения температуры. При теплопроводности мерой переноса является плотность потока тепла M(A)=q, а переносимой величиной – средняя кинетическая энергия,  А= . Поэтому уравнение переноса (54) можно записать в виде

. (58)

97

Учитывая, что , где C_V и с_V – молярная и удельная теплоемкости при постоянном объеме соответственно, получим:

.

Сравнивая с (58), получим формулу для коэффициента теплопроводности

. (59)

Подставляя средние, получим

,

откуда видно, что κ ~ . Коэффициент теплопроводности прямо пропорционален корню из температуры и не зависит от давления газа.

Внутреннее трение в газе связано с силами трения между слоями газа, движущимися с различными скоростями. Молекулы, попадая из быстрого слоя в медленный, замедляются при столкновениях и, наоборот, при попадании из медленного слоя в быстрый – ускоряются. В результате происходит передача импульса и между слоями возникают силы трения, направленные по касательной к поверхностям, разделяющим слои. Из опыта известно (закон Ньютона), что

, (60)

где τ – напряжение трения (сила трения, отнесенная к площади поверхности соприкосновения слоев),

η – коэффициент внутреннего трения (вязкость).

98

Минус возникает из-за того, что силы трения направлены противоположно

относительной скорости слоев. При внутреннем трении мерой переноса является напряжение трения: М(А)= τ, а переносимой величиной – модуль импульса (А=mu) упорядоченного движения молекулы в слое газа. Поэтому уравнение переноса (54) можно записать в виде

.

Сравнивая с (60) находим выражение для коэффициента вязкости

. (61)

Подставляя в (61) выражения для средних скорости и длины свободного пробега, получим

,

откуда видно, что η~ и также не зависит от давления газа.