Модуляция ofdm и преобразование Фурье

Детальное описание способа модуляции OFDM требует высокого уровня абстракции. Не случайно в стандарте DVB-T приводятся формулы, дающие представление выходного радиосигнала в виде вещественной части комплексного колебания достаточно сложной структуры. Подобные формулы могли бы быть написаны, например, и для амплитудно-модулированного колебания, но в этом случае они представляли бы собой способ описания, дополнительный к временным, спектральным и векторным диаграммам. Иная ситуация в случае модуляции OFDM. Аналитическая форма описания является основной, поскольку именно она определяет способ реализации этого нового вида модуляции.

Рассмотрим модуляцию несущих. Независимо от способа (QPSK или QAM) модулированное колебание представляет собой сумму синфазной компоненты (косинусоиды) с амплитудой, равной вещественной части нормированного комплексного модуляционного символа Re{c}=c_I, и квадратурной компоненты с амплитудой, равной мнимой части модуляционного символа Im{c}= c_Q. Значения модуляционных символов в процессе передачи меняются в соответствии с передаваемыми данными. Таким образом, надо умножать опорное синфазное колебание на вещественные части комплексных символов c_I, квадратурное колебание - на мнимые части c_Q, а результаты перемножения - складывать. Эту операцию можно выполнять различными способами. Например, можно все эти действия выполнять в цифровой форме, а обработанные данные подвергать затем цифроаналоговому преобразованию. Но можно сначала осуществить цифроаналоговое преобразование вещественной и мнимой частей комплексных модуляционных символов, а умножение их на синфазное и квадратурное колебания (а это есть не что иное, как амплитудная модуляция) и сложение выполнять в аналоговой форме. Учитывая, что для формирования излучаемого сигнала на частоте выбранного канала модуляцию приходится выполнять сначала на промежуточной частоте, а затем прибегать к преобразованию частоты, то есть к переносу спектра сигнала в полосу частот выбранного канала вещания, оптимальное решение может представлять собой комбинацию алгоритмов цифровых и аналоговых преобразований сигналов.

Если попытаться максимальное количество действий выполнить в комплексной форме (а для этого есть основания, поскольку для операций с комплексными колебаниями разработано много быстрых алгоритмов), то сигнал несущей с номером k и частотой f_k, модулированной символом c_k, может быть записан в виде вещественной части произведения комплексного модуляционного символа c_k и комплексной экспоненты, или комплексного колебания с частотой f_k:

s_k(t)=Re{c_kexp(j2f_kt)}=Re{c_kexp(j2kt/T_U)} (1)

Частота f_k представляет собой k-тую гармонику основной частоты 1/T_U, то есть величины, обратной длительности полезной части символа и равной расстоянию между частотами соседних несущих. Сигнал OFDM, записанный на интервале одного символа, представляет собой сумму всех несущих колебаний, модулированных своими модуляционными символами:

s(t)=s_k(t) = Re{c_kexp(j2kt/T_U)} (2),

где суммирование выполняется по всем значениям k от k_min до k_max.

Но можно сначала выполнить суммирование, а затем взять его вещественную часть. Поскольку цифровая система передачи данных - система с дискретным временем, то при вычислениях в цифровой форме вместо непрерывной переменной t надо подставить ее дискретный аналог nT (здесь T - интервал дискретизации, а n - номер отсчета):

s(nT)= s_n = Re{c_kexp(j2knT/T_U)} (3)

Имеет смысл сравнить выражение (3) с формулой обратного дискретного преобразования Фурье:

x_n = X_kexp(j2kn/N) (4)

Последняя формула также предполагает действия с комплексными числами, она позволяет вычислить значения сигнала x_n в моменты nT путем суммирования его гармонических составляющих с известными комплексными амплитудами X_k (здесь N - количество отсчетов сигнала и соответственно количество его составляющих (включая постоянную), которое может быть рассчитано в дискретной форме, причем суммирование выполняется по всем k от 0 до (N-1)). При описании сигнала формула позволяет перейти из частотной области во временную, используя для этого суммирование всех гармонических составляющих сигнала, которые являются ортогональными.

Надо отметить, что формулы (3) и (4) аналогичны, ведь радиосигнал OFDM на интервале символа также представляет собой результат суммирования ортогональных гармонических колебаний с заданными в процессе обработки и кодирования данных амплитудами. Более того, формулы для обратного преобразования Фурье и радиосигнала OFDM становятся тождественными, если положить N=T_U/T и ввести в формулу для сигнала OFDM суммирование от 0 до N-1, причем считать нулевыми значения модуляционных символов для вновь введенных дополнительных номеров. Тогда становится ясным, что частотное уплотнение с ортогональными несущими представляет собой обратное дискретное преобразование Фурье (точнее, его вещественную часть).

Но надо ли осуществлять модуляцию OFDM в виде обратного преобразования Фурье? Ведь это всего лишь способ математического описания, а частотное уплотнение можно получить традиционным способом, то есть с использованием обычных модуляторов. Однако, если бы переход к преобразованию Фурье не был бы сделан, то модуляция OFDM имела бы малые шансы на практическую реализацию. Преимущества системы OFDM проявляются при очень большом числе несущих (например, при нескольких тысячах), но в этом случае прямое аппаратурное формирование сигнала OFDM потребовало бы огромных схемотехнических затрат в виде тысяч генераторов и модуляторов в передатчике и такого же числа детекторов в приемнике. Маловероятно, что такая схема была бы реализована. А для прямого и обратного дискретного преобразования Фурье в последние десятилетия разработаны быстрые и эффективные алгоритмы, их так и называют – алгоритмы быстрого преобразования Фурье (БПФ и ОБПФ), и созданы процессоры БПФ в виде больших интегральных схем. Формула для сигнала OFDM, представляющая вещественную часть обратного преобразования Фурье и регламентирующая формирование радиосигнала, представляет собой важную часть стандарта DVB-T, поскольку именно она определяет алгоритм практической реализации предлагаемого в стандарте способа модуляции OFDM.

Отношение T_U/N=T (здесь N – размер массива БПФ), определяющее интервал дискретизации в формуле (3), играет важную роль в спецификации стандарта DVB-T. Величина 1/T называется системной тактовой частотой. И время символа, и защитный интервал являются целыми кратными T. В системе DVB-T, рассчитанной на каналы шириной 8 МГц, системная тактовая частота равна 1/T=64/7 МГц. Эта величина является оптимальной с точки зрения уменьшения интерференционных помех из-за взаимодействия с излучаемыми радиосигналами аналогового телевидения.

Система DVB-T была изначально спроектирована для шага средних частот каналов 8 МГц, принятого в Европе для дециметрового частотного диапазона. Однако система легко может быть приспособлена к другим диапазонам с другим шагом. Для перехода к 7 МГц каналам необходимо заменить системную тактовую частоту на 8 МГц. При этом сохраняется вся структура обработки сигналов (можно использовать одни и те же интегральные схемы для обработки), но объем передаваемых данных составляет лишь 7/8 от исходного. Для перехода к каналу шириной 6 Мгц следует использовать системную тактовую частоту (13,5і8192)/(858і19) МГц.

Интересно, что можно использовать не только вещественную, но и мнимую части вычисленного обратного преобразования Фурье. Выполним в соответствии с формулой обратного преобразования Фурье вычисление и вещественной и мнимой частей (мнимая часть обозначается как s_Q(t), вещественная – обозначается здесь как s_I(t) и дает уже описанный сигнал s(t)):

c_kiexp(j2kf_kt)= s_I(t)+j s_Q(t)

Рис.12. Формирование радиосигнала OFDM

Умножим вещественную часть на колебание с частотой F0 (будем называть его "синфазным"), а мнимую часть - на квадратурное колебание той же частоты (сдвинутое по фазе по отношению к синфазному на 90°). Тогда суммирование полученных произведений дает сигнал OFDM, спектр которого смещен на частоту F₀. Такая операция соответствует преобразованию частоты, которое неизбежно используется для переноса радиосигнала в полосу частот выбранного канала вещания:

s₀(t)=s_I(t)cos(2F₀t)-sQ(t)sin(2F₀t)={c_Ik(t)cos[2(f_k+F₀)t]-c_Qk(t)sin[2(f_k+ F₀)t]}

Именно такое преобразование иллюстрирует схема формирования радиосигнала OFDM (рис. 12).