Примеры решения задач

Задача 1. Дано: N₁ = 500 кН, N₂ = 700 кН, N₃ = 1200 кН; а₁ = 4 м, а₂ = 2 м, z = 4 м. Построить эпюры напряжений по сечениям II и IIII.

Начертим схему приложения нагрузок (рис. 1).

Рис. 1. Схема действия нагрузок и эпюры напряжений

Решение. При приложении к горизонтальной поверхности массива грунта нескольких сосредоточенных сил N₁, N₂ и N₃ значения вертикальных составляющих напряжений _z,i в любой точке массива определяются суммированием напряжений от действия каждой силы в отдельности по формуле

, (1)

где k_i – коэффициент, являющийся функцией отношения и принимаемый по прил. 1; r_i  расстояние по горизонтальной оси от рассматриваемой точки до вертикальной линии, проходящей по действию приложенных сил N₁, N₂ и N₃; z_i – глубина рассматриваемой точки от горизонтальной плоскости приложения сосредоточенной силы N_i.

Вычислим напряжения _z по сечению II. Для этого сечения значения r_i постоянные, т.е. r₁ = 4 м, r₂ = 0 м, r₃ = 2 м, изменяются

только значения z_i для каждой точки. Обозначим эти точки 1, 2, 3 и 4. Определим значение напряжения для первой точки. Выражение (1) запишется следующим образом:

z₁ = 1 м. Вычислим значения коэффициентов k₁, k₂, k₃. Из прил. 1 при k₁ = 0,004. Точно также вычислим значения остальных коэффициентов при k₁ = 0,4775; при k₁ = 0,0085.

Точно также вычислим _z для остальных точек по сечению II.

где k₁ = 0,0085 при k₂ = 0,4775 при k₃ = = 0,0844 при

где k₁ = 0,0844 при k₂ = 0,4775 при k₃ = 0,2733 при

где k₁ = 0,0251 при k₂ = 0,4775 при k₃ = = 0,3670 (при интерполяции) при

По этим данным строим эпюру напряжений в сечение II в масштабе 100 кПа в 1 см.

Вычислим величины напряжений _z по линии IIII по точкам 5, 6, 7, 8 и 9. Для этого сечения z = 3 м, а изменяются значения r₁, r₂ и r₃.

где k₁ = 0,3670 при k₂ = 0,0844 при k₃ = 0,0085 при

где k₁ = 0,0844 при k₂ = 0,3670 при k₃ = = 0,0844 при

где k₁ = 0,0374 при k₂ = 0,4775 при k₃ = = 1889 при

где k₁ = 0,0171 при k₂ = 0,3687 при k₃ = 0,0844 при

где k₁ = 0,4775 при k₂=0,0844 при k₃ = 0085 при

Строим эпюру напряжений по линии IIII в масштабе 50 кПа в 1 см.

Задача 2. Определить и построить эпюры вертикальных напряжений _z от совместного действия внешних нагрузок, приложенных к двум фундаментам. Сечения, по которым строят эпюры напряжений, проходят через точки М₁, М₂ и М₃, которые расположены на фундаменте Ф1. расстояние между осями площади подошвы фундаментов равно 3 м. Точки по вертикали от поверхности на расстоянии 1, 2, 4 и 6 м. Схема нагрузок и геометрические размеры подошвы фундаментов представлены на рис. 2.

Рис. 2. Схема нагрузок и геометрические размеры подошвы

фундаментов Ф1 и Ф2

Решение. Распределение по глубине вертикальных напряжений _zс от действия равномерно распределенной нагрузки в пределах или за пределами площади подошвы фундаментов в любой точке массива можно определить по методу угловых точек по формуле

, (2)

где  коэффициент, определяемый в зависимости от отношения сторон площади подошвы фундамента ( и  соответственно ширина и длина подошвы фундамента) и отношения (  глубина, на которой определяется _zс);  интенсивность равномерно распределенной нагрузки.

Значения приведены в табл. 2.

Если рассматриваемая вертикаль проходит через центр тяжести прямоугольника, то вертикальные напряжения определяются по формуле

где  коэффициент, определяемый из табл. 2, но в зависимости от отношений и .

Рассмотрим случай, когда вертикальная плоскость проходит через точку М₁ . Определяется вертикальное напряжение сначала для фундамента Ф1 в точке М₁, а затем в этой же точке для влияющего фундамента Ф2. Ф1 разбиваем на два прямоугольника М₁ABC и M₁CM₃D. Все геометрические размеры определены из схемы и графиков.

Если точка М₁ расположена на контуре прямоугольника, то вертикальное напряжение определяется по формуле

,

где  коэффициенты, принимаемые соответственно для прямоугольников М₁ABC и M₁CM₃D по табл. 2. Размеры этих прямоугольников с глубиной не изменяются. Изменяется только значение z.

Так как прямоугольники равные, то и =

На вертикали, проходящей через М₁, расположены точки на глубинах 1, 2, 4 и 6 м. Для этих точек вычислим значения напряжений _zс и обозначим эти точки также 1, 2, 4 и 6.

Точка 1: ,

где = 400 кПа.

Значение принимаем по табл. 2, где  наименьшая сторона прямоугольника.

z = 1 м, b = 3 м, l = 4 м;

Значение принимается по столбцу Так как ни одно значение приведенных соотношений не совпадает с табличным, то приходится интерполировать. Для точки 1: = 0,980, кПа.

Точка 2: определяется так же, как и

.

z = 2 м, b = 3 м, l = 4 м.

кПа.

Как видно, при определении изменяется только отношение .

Точка 4: вычисления аналогичные.

кПа.

Точка 6: вычисления аналогичные.

кПа.

Точка М₁: вычисления аналогичные.

Вычислим дополнительные напряжения в этих же точках от влияния фундамента Ф2. Для этого построим дополнительные прямоугольники М₁АFK и M₁KLD так, чтобы точка М₁ была для этих прямоугольников угловой (b = 1,8 м, l = 7,2 м). Эти прямоугольники равные. Нагрузим их р₂. Нагрузка действует только в пределах Ф2, поэтому вычтем влияние прямоугольников M₁AOC и M₁DNC (b = 1,8 м, l = 14,8 м). Эти прямоугольники также равны.

Величина вертикального напряжения от влияния фундамента Ф2 определяется по формуле

,

где и  коэффициенты, определяемые для прямоугольников М₁АFK и M₁KLD по табл. 2; и  коэффициенты, определяемые для прямоугольников M₁AOC и M₁DNC;  равномерно распределенная нагрузка по подошве фундамента Ф2, равная 300 кПа.

Коэффициенты определяются так же, как и в вышеприведенном случае.

Точка М₁: z = 0.

= = 1; = = 1.

Точка 1: z = 1 м.

= =

= =

кПа.

Точка 2: z = 2 м.

=

=

кПа.

Точка 4: z = 4 м.

=

=

кПа.

Точка 6: z = 6 м.

= (3,33; 4) = 0,311.

=

кПа.

Строим эпюру напряжений в вертикальном сечении, проведенном через точку М₁, по следующим данным (см. рис. 3):

Точка 0: _zс = 200 + 0 = 200 кПа.

Точка 1: _zс = 196 + 0,45 = 196,45 кПа.

Точка 2: _zс = 175 + 0,6 = 174,6 кПа.

Точка 4: _zс = 123,8 + 4,05 = 127,85 кПа.

Точка 6: _zс = 80 + 4,65 = 84,65 кПа.

Построим эпюру напряжений _z по сечению, проведенному через точку М₂.

Сначала построим эпюру напряжений _z , возникающих под фундаментов Ф1. В этом случае вертикальные напряжения вычисляются по формуле

,

где  коэффициент, зависящий от соотношений и (b – наименьший размер подошвы фундамента, l  наибольший размер подошвы фундамента) и принимаемый по табл. 2.

Точка М₂: z = 0.

кПа.

Точка 1: z = 1 м.

По табл. 2 при k = 1.

кПа.

Точка 2: z = 2 м.

По табл. 2 при k = 0,765.

кПа.

Точка 4: z = 4 м.

k = 0,414.

кПа.

Точка 6: z = 6 м.

k = 0,235.

кПа.

Вычислим вертикальные напряжения в этих же точках от влияния фундамента Ф2. Для этого строим дополнительные прямоугольники так, чтобы в каждый прямоугольник входила точка М₂: М₂АFK и M₂KLD (b = 1,8 м, l = 5,2 м). Эти прямоугольники загрузим нагрузкой . Вычислим для этих площадей загрузки коэффициенты и Из суммы этих коэффициентов вычтем коэффициенты и , определенных по прямоугольникам М₂АОС и M₂CND (b = 1,8 м, l = 2,8 м), как прямоугольников, незагруженных нагрузкой .

Общая формула для определения напряжений

,

где и  коэффициенты, определяемые для прямоугольников М₂АFK и M₂КLD и равные между собой; и  коэффициенты, определяемые для прямоугольников M₂AOC и M₂CND и равные между собой.

Точка М₂: z = 0.

Точка 1: z = 1 м.

= =

= = 0,978 по

= =

= = 0,926 по

кПа.

Точка 2: z = 2 м.

= =

= = 0,778 по

= =

= = 0,719 по

кПа.

Точка 4: z = 4 м.

= =

= = 0,485 по

= =

= = 0,356 по

кПа.

Точка 6: z = 6 м.

= =

= = 0,315 по

= =

= = 0,198 по

кПа.

Таким образом, суммарные вертикальные напряжения, вычисленные по сечению, проведенному через точку М₂, составляют, кПа:

Точка 0: _zс = _z,0 + _zс,0 = 400 + 0 = 400.

Точка 1: _zс = _z,1 + _zс,1 = 376,5 + 7,8 = 384,2.

Точка 2: _zс = _z,2 + _zс,2 = 306 + 8,85 = 314,85.

Точка 4: _zс = _z,4 + _zс,4 = 165,6 + 18 = 183,6.

Точка 6: _zс = _z,6 + _zс,6 = 94 + 17,55 = 111,55.

Построим эпюру напряжений _z по сечению, проведенному через точку М₃.

Порядок построения и расчета. Сначала вычислим вертикальные сжимающие напряжения по вертикали, проведенной через точку М₃ для фундамента Ф1.

Величины напряжений определяются по формуле (2),

где  интенсивность давления на фундамент Ф1.

Длина подошвы фундамента l = 6 м, ширина b = 4 м.

Точка М₃: z = 0.

k_с,0 = 1.

кПа.

Точка 1: z = 1 м.

k_с,1 = 0,982 по = 1,4 .

кПа.

Точка 2: z = 2 м.

k_с,2 = 0,941 по = 1,4 .

кПа.

Точка 4: z = 4 м.

k_с,4 = 0,765 по = 1,4 .

кПа.

Точка 6: z = 6 м.

k_с,6 = 0,569 по = 1,4 .

кПа.

По этим же точкам вычислим вертикальные напряжения _z от действия фундамента Ф2. Для этого построим прямоугольники, включающие точку М₃: М₃АFP  загрузим давлением , M₃AP  этот прямоугольник фактически не загружен, поэтому мы его вычитаем из прямоугольника М₃АFP; М₃DLP  тоже не загружен; М₃DNP  не загружен, но дважды учтен, поэтому он загружен.

Общая формула для определения напряжений имеет вид

,

где  коэффициент, принимаемый по табл. 2 в зависимости от отношений (b  наименьший размер прямоугольника М₃АFP, равный 3,2 м) и (l  наибольший размер прямоугольника М₃АFP , равный 4,8 м); и  коэффициенты соответственно для прямоугольников М₃АОP (b = 0,8 м; l = 4,8 м), М₃DLP (b = 1,2 м; l = 3,2 м), М₃DNP (b = 0,8 м; l = 1,2 м), принимаемые по табл. 2.

Точка М₃: z = 0.

= 1.

= 1.

= 1.

= 1.

кПа.

Точка 1: z = 1 м.

= 0,916 при = 1,4.

= 0,740 при = 5.

= 0,729 при = 2,4.

= 0,663 при = 1,4.

кПа.

Точка 2: z = 2 м.

= 0,902 при = 1,4.

= 0,455 при = 5.

= 0,729 при = 2,4.

= 0,309 при = 1,4.

кПа.

Точка 4: z = 4 м.

= 0,663 при = 1,4.

= 0,219 при = 5.

= 0,280 при = 2,4.

= 0,096 при = 1,4.

кПа.

Точка 6: z = 6 м.

= 0,452 при = 1,4.

= 0,116 при = 5.

= 0,151 при = 2,4.

= 0,045 при = 1,4.

кПа.

Суммарные напряжения по сечению, проведенному через М₃ составляют, кПа:

Точка 0: _z,0 =_zс,0 + _zс,0 = 100 + 0 = 100.

Точка 1: _z,1 =_zс,1 + _zс,1 = 98,2 + 12 = 110,2.

Точка 2: _z,2 =_zс,2 + _zс,2 = 94,1 + 48,90 = 143.

Точка 4: _z,4 =_zс,4 + _zс,4 = 76,5 +18,9 = 95,4.

Точка 6: _z,6 =_zс,6 + _zс,6 = 56,9 +10,5 = 67,4.

Строим эпюры напряжений по сечениям, проведенным через точки М₁, М₂ и М₃ (рис. 3).

а б в

Рис. 3. Эпюры напряжений по сечениям, проведенным

через точку: а  М₁; б  М₂ ; в  М_3.

Как видно из приведенных эпюр вертикальных напряжений, наибольшие значения возникают в сечениях, проведенных через центральные точки площади подошвы фундаментов. Поэтому в механике грунтов принято определять осадки фундаментов по этим величинам.

Задача 3. Рассчитать осадку ленточного фундамента методом послойного суммирования по данным, приведенным в табл. 4.

Таблица 4

b, м	d, м	P, МПа	h1, м	1, кН/м3	s1, кН/м3	W, %	E01, МПа	h2, м	2, кН/м3	E02, МПа	dw, м
2,4	1,8	0,40	4,0	18,0	27,2	12	18	8	19,8	12	1,6

Расчетная схема приведена на рис. 4.

Рис. 4. Геометрические размеры фундамента

и физические свойства грунтов

Осадка фундамента методом послойного суммирования определяется по формуле

где 0,8  постоянный коэффициент; _{zp i} – среднее значение дополнительного вертикального нормального напряжения в i-м слое грунта, равное полусумме указанных напряжений на верхней z_i-1 и нижней z_i границах слоя по вертикали, проходящей через центр подошвы фундамента; h_i и E_i – соответственно толщина и модуль деформации i-го слоя.

Дополнительное напряжение σ_zp определяется по формуле

σ_zp = p_o ,

где   коэффициент, принимаемый по прил. 2, в зависимости от формы подошвы фундамента ( ) и относительной глубины расположения точки ( ); р_о  дополнительное вертикальное давление, равное

р_о = р  σ_zq.o ,

где р – среднее давление по подошве фундамента; σ_zq.o – вертикальное напряжение по подошве фундамента от действия собственной массы грунта

σ_zq.o = _II d.

Здесь _II – удельный вес грунта выше подошвы фундамента, определяемый с учетом взвешивающего действия воды при расположении уровня грунтовых вод выше подошвы фундамента; d – глубина заложения фундаментов.

Построим эпюру напряжений σ_zp по формуле . Для этого вычислим дополнительное давление р_о. Так как уровень грунтовых вод выше подошвы фундамента, то определение напряжения σ_zq.o производим с учетом взвешивающего действия воды.

Учет взвешивающего действия воды на величину ₁ производится по формуле

где заданный удельный вес твердых частиц 1-го слоя; удельный вес воды, равный 10 кН/м³; коэффициент пористости грунта 1-го слоя, равный

,

где  удельный вес сухого грунта 1-го слоя, определяемый по формуле

,

где  удельный вес грунта 1-го слоя;  заданная влажность грунтов 1-го слоя.

.

Взвешивающее действие воды учитывается только ниже уровня грунтовых вод:

σ_zq.o = 1,618 + (1,8  1,6)10,16 = 28,8 + 2,03 + 30,83 кПа.

= 400 – 30,83 = 369,17 кПа, где 400 кПа = 0,4 МПа.

При определении напряжений по прил. 2 приходится много интерполировать значения коэффициентов . Для того чтобы попасть в табличное значение  необходимо элементарные слои разделить на толщину, равную

,

где b – ширина подошвы фундамента.

В нашем случае толщина элементарного слоя равна м.

При ленточных фундаментах значение , поэтому значение коэффициента  принимаем по последнему столбцу прил. 2.

Фундамент расположен на глубине 1,8 м первого слоя. Напряжения распределяются на толще слоя, равной 4  1,8 = 2,2 м. Полных элементарных слоев толщиной 0,48 м  четыре, остаток  0,28 м (0,484 + 0,28 = 2,2 м).

Значение  в первом слое изменяется как

		м
пески	0 0,4 0,8 1,2 1,6 1,83 2,00	0 0,48 0,96 1,44 1,92 2,2 2,40	1,0 0,977 0,881 0,755 0,642 0,589 0,550

Для глубины z = 2,2 м необходимо вычислять значение .

;

Для того чтобы попасть в табличное значение, принимаем равным 2,0. Это уже второй слой толщиной 2,40 м. Значение  = 0,550 м. Во втором слое далее толщина слоя 0,48 м.

Вычисления произведем в табличной форме (табл. 3.1).

Вычисляем напряжения _zq по:

а) подошве фундамента: _zq,0 = 30,83 кПа;

б) кровле второго слоя: _zq = 30,83 + 2,210,10 = 53,18 кПа;

в) водоупору  второй слой является водоупором. Дальше грунт не взвешивается.

К значению 53,18 кПа прибавляется масса столба воды, равная кПа.

Тогда на водоупоре _zq = 53,18 + 24 = 77,18 кПа.

В формуле (3.1) количество слоев должно быть равным, где выполняется условие

.

Значение 0,2 принимается в том случае, когда модуль деформации грунта в точке пересечения более 5 МПа. У наc E₂ = 12 МПа.

Осадка фундамента равна

Таким образом, осадка фундамента – 8,7 см.