Радиоактивное равновесие

Когда короткоживущий дочерний продукт образуется из долгоживущего материнского вещества, возникает радиоактивное равновесие. Если материн­ское вещество живет очень долго по сравнению с дочерним, равно­весие достигается, когда число атомов дочернего вещества, распа­дающихся в секунду, равно числу атомов того же вещества, образующихся в секунду из его материнского вещества.

Для упрощения рассуждений рассмотрим превращение радия в радон. Их постоянные распада соответственно равны ₁= 1,35710¹¹ с^-1 и ₂=2,09710^-6 с^-1. Пусть N₀ – начальное число атомов радия в образце, причем в этот момент радон совер­шенно отсутствует. Пусть в последующий момент времени t имеется N₁ атомов радия. Тогда

(1)

Число атомов радона, образующихся каждую секунду, равно числу распадающихся атомов радия минус число распадающихся за то же время атомов радона, т. е.

(2)

где N₂ – число атомов радона, присутствующих в момент t, или

(3)

Решая это уравнение, находим:

. (4)

Поскольку ₁ – весьма малая величина, так что даже спустя 10⁷ секунд (приблизительно 4 месяца) ₁t будет порядка 10^-4, то мало отличается от единицы, т.е. количество радия остается по су­ществу постоянным, как это следует из большого периода его полу­распада (1620 лет). В таком случае (4) имеет вид:

, (5)

где . Оно описывает рост числа атомов радона со временем; соответственно активность радона выражается как

₂N₂, или ₂С(1 – ). (6)

Можно видеть, что по истечении приблизительно двух месяцев становится очень малой величиной, так что N₂ приближается к постоянной С. Таким образом, активность радона становится почти постоянной, равной ₂С, и он распадается с периодом своего долгоживущего материнского вещества. Говорят, что радон в этом случае находится в вековом равновесии с радием.

На рис. 1 показано возрастание количества радона в соответ­ствии с уравнением (6) за время, равное шести периодам полу­распада т. е. в течение 22,95 дня.

Накопление радона из чистого радия и распад равновесного количества радона после его отделения от материнской среды

1,0

0,9

0,8

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0,0

Рис. 1.

Если же равновесное количество радона отделить от материн­ского вещества, то он будет распадаться согласно уравнению

(7)

Распад радона также показан на рис. 1; очевидно, обе кривые дополняют друг друга до единицы.

У ряда материнских веществ период полураспада не столь велик, чтобы их активность можно было считать постоянной в тече­ние времени наблюдения. В таком случае говорят, что дочерний продукт находится в подвижном (переходном) равновесии с материнским вещест­вом. Активность дочернего продукта возрастает, переходит через максимум и, наконец, спадает с периодом материнского вещества в соответствии с уравнением (4), которое охватывает и этот случай. Конечная стадия распада начинается по истечении достаточно боль­шого времени t, чтобы стало пренебрежимо малым по сравнению с . Число атомов дочернего продукта тогда равно:

.

Чтобы равновесие стало вековым, активности материнского и дочернего веществ должны быть равны, т. е., или

. Таким образом, отношение:

.

Эта величина больше единицы. Следовательно, активность дочер­него элемента, будучи пропорциональной числу имеющихся атомов, при переходном равновесии больше, чем при вековом.

Важным примером этого может служить переход ²¹²Pb  ²¹²Bi с _B = 1,81610^-5 с^-1 и _С = 1,91010^-4 с^-1. Пусть изолирован­ный диск покрыт активным осадком тория, в кото­ром содержится известное количество ²¹²Pb, равное количеству его при вековом равновесии с долгоживущим предшественником ²²⁸Тh (1,9г.). Если в одном случае ²¹²Bi находится в переходном равновесии, а во втором случае – в вековом равновесии с ²¹²Pb, то отношение активностей, обусловленных ²¹²Bi, в этих обоих случаях равно:

Таблица 4 иллюстрирует установление равновесия между ²¹⁸Pb и ²²⁶Ra.