2. Сферичний трикутник та його елементи

Сферичним трикутником називається частина поверхні сфери, обмежена трьома дугами великих кіл, що взаємно перетинаються.

У подальшому будемо розглядати тільки так звані Ейлерові сферичні трикутники. У таких трикутників кути та сторони змінюються лише в межах від 0° до 180°.

Оскільки через дві точки, що не лежать на одному діаметрі, можна провести тільки одну дугу великого кола, меншу за 180°, то побудова трикутника на поверхні сфери є однозначною.

Площини великих кіл, якщо їх дуги утворюють сферичний трикутник , перетинаються між собою у центрі сфери та утворюють тригранник (рис. 2).

Рис. 2.

Сферичний трикутник має шість основних елементів: три кути , , та три сторони , , . Кути позначаються тими ж великими літерами, що й вершини трикутника, а протилежні їм сторони – відповідними малими буквами.

Із рис. 2 видно, що кути сферичного трикутника рівні відповідним двогранним кутам тригранника. Сторони трикутника, визначені у кутовій чи радіанній мірі, дорівнюють відповідним плоским кутам тригранника. Тобто, усі шість елементів сферичного трикутника дорівнюють відповідним елементам тригранника.

Оскільки сторони сферичного трикутника , та . прийнято вимірювати у кутовій або радіанній мірі, то вибір радіуса сфери стає не суттєвим. Це видно з рис. 3. Трикутники та − подібні. Вони мають різні (пропорційні) лінійні розміри, але їх елементи, відображені у кутовій мірі, є відповідно рівними. Тому з метою спрощення доведення формул радіус сфери приймають за одиницю, тобто беруть .

Р ис. 3

За формою сферичні трикутники поділяють на:

1. прямокутні, якщо хоча б один із кутів трикутника дорівнює 90°;

2. прямосторонні, якщо хоча б одна із сторін трикутника дорівнює 90°;

3. косокутні – в інших випадках.

Сферичні трикутники (за їх означенням) одночасно можуть бути прямокутними та прямосторонніми. Таким, наприклад, є трикутник рис. 1, який має кути при вершинах та та сторони та , що дорівнюють 90°. Можливо побудувати сферичний трикутник, що має всі сторони та всі кути, що дорівнюють 90°. Цей трикутник являє собою восьму частину поверхні сфери та утворюється перетином трьох великих кіл із взаємно перпендикулярними площинами.

У сферичній геометрії, за аналогією до геометрії на площині, прийняті також поняття про рівнобічні та рівносторонні трикутники.

Розв’язання сферичних трикутників складає предмет сферичної тригонометрії та знаходить застосування в астрономії, картографії, навігації, вищій геодезії, кристалографії, фотограмметрії та при розв’язанні різноманітних геометричних задач у ряді інших дисциплін.

3. Полярні сферичні трикутники

На рис. 4 зображено сферичний трикутник . Розглядаючи вершини , та як полюси, побудуємо для них відповідні поляри − , та . Одержані так поляри при називають полярним відносно до даного трикутника .перетині між собою утворюють сферичний трикутник , який

Р ис. 4

Виявляється, що трикутники та взаємополярні, тобто якщо вершини трикутника є полюсами сторін трикутника , то і, навпаки, вершини трикутника є полюсами сторін трикутника .

Основна властивість полярних трикутників: сума якого-небудь кута даного трикутника та відповідної йому сторони полярного трикутника дорівнює 180°.

180°. (1.4)

З того, що трикутники та − взаємополярні випливає:

180°. (1.5)