§ 7. Цилиндрически-симметрическое распределение зарядов.

Решим задачу об определении и для бесконечного цилиндра радиуса R, заряженного с объемной плотностью

(7.1)

Ось цилиндра совмещена с осью z, r - цилиндрическая радиальная координата. Те же рассуждения о симметрии, которые были сделаны в начале §6, приводят к тому, что цилиндрически-симметричное поле имеет вид:

(7.2)

- орт, касательный к цилиндрической радиальной координатной линии.

Для того, чтобы иметь дело с конечным значением полного заряда в теореме Гаусса, рассмотрим область трехмерного пространства, ограниченную плоскостями z = 0 и z = H.

Рис.8

а) Найдем - внутри цилиндра радиуса R. Через точку Р во внутренней области заряженного цилиндра проведем цилиндрическую поверхность радиуса r < R. Для полученного цилиндра радиуса r и высоты H можно применить теорему Гаусса

(7.3)

Используя второе основное свойство поверхностного интеграла (5.5), получаем, что интеграл по замкнутой поверхности в (7.3) разлагается на сумму трех интегралов: по первому и второму основаниям и по боковой поверхности вырезанного нами цилиндра

(*)

Нормали к основаниям направлены параллельно оси z, а нормаль к боковой поверхности параллельна . Поэтому из формулы для векторного элемента поверхности в цилиндрической системе координат (4.12) следует, что

(7.4)

Из (7.2) и (7.4) видно, что

(*)

Легко видеть, что

(**)

Подставляя последние два результата в теорему Гаусса (7.3) получаем

(7.5)

б) Найдем вне цилиндра аналогичным способом. Используем теорему Гаусса для цилиндра высоты Н и радиуса r < R. Вместо (**) имеем

(***)

окончательно

(7.6)

в) Найдем потенциал внутри и вне заряженного цилиндра. Во внутренней области из (7.2) и (7.5) получаем

(7.7)

Для определения постоянной интегрирования А положим

Отсюда следует, что А обращается в нуль. Для внешней области имеем

(7.8)

Постоянная интегрирования В получается из условия «сшивания» внешнего и внутреннего решений:

(7.9)

Окончательно имеем, что

(7.10)

§ 8. Электростатическое поле распределения зарядов с симметрией плоскости

Симметрия плоскости соответствует распределению зарядов внутри неограниченной плиты толщины 2L с

(8.1)

Середина плиты совмещена с плоскостью xy. Распределение зарядов не зависит от xу, т.е. имеет симметрию плоскости. Пусть - напряженность при z > 0, а - напряженность при z < 0. Тогда симметрия приводит к тому, что

(8.2)

(8.3)

Для того, чтобы иметь дело с конечными значениями зарядов - в теореме Гаусса, рассмотрим область трехмерного пространства, ограниченную плоскостями

а) Найдем внутри плиты.

Через точки и , отстоящие друг от друга на расстоянии проведем плоскости, параллельные ху и применим теорему Гаусса для полученного объема в форме параллелепипеда (рис.9).

Рис.9

Параллелепипед имеет шесть граней. Ненулевой вклад в уравнение, выражающее теорему Гаусса дадут только элементы

(8.4)

а четыре элемента от боковых граней вида

(8.5)

перпендикулярны вектору напряженности и поэтому поверхностные интегралы по боковым граням обращаются в нуль.

Таким образом, теорема Гаусса выражается соотношением:

(*)

Вычислим количество заряда, которое имеет рассматриваемый параллелепипед:

(**)

Подставим (**) в (*) и получим

(8.6)

(8.7)

б) Аналогичными рассуждениями находим напряженность поля вне плиты:

(8.8)

(8.9)

в) Согласно полученным результатам и (8.2) составим дифференциальные уравнения для определения потенциалов внутри и вне плиты.

Учтем, что при z > 0 и при z < 0. Тогда формулы (8.7) можно объединить:

(8.10)

Следовательно, внутри плиты:

(*)

Положим, что потенциал обращается в нуль в середине плиты. Тогда постоянная интегрирования A, становится равной нулю. Для внешнего потенциала имеем

(**)

Условия «сшивания» внешнего и внутреннего решений при , приводят к тому, что

(***)

В нижнем полупространстве имеют место соотношения;

(8.11)

Условия «сшивания» внешнего и внутреннего решений имеют вид:

(****)

Объединим полученные формулы следующим образом:

(8.12)

(8.13)

Эти формулы описывают значения потенциалов внутри и вне плиты при любых значениях z.