События будем называть гипотезами. Докажем, что
Действительно,
событие В
может появиться только с одним из
несовместных событий
,
образующих полную систему событий.
Иначе говоря,
,
где события
несовместны, что следует из несовместности
событий
.
Найдем вероятность события В
:
,
отсюда
что и требовалось доказать. Доказанная формула называется формулой
п о л н о й в е р о я т н о с т и .
Ф о р м у л а Б а й е с а.
Пусть по-прежнему имеет место равенство
.
Найдем
вероятность события
при условии, что событие В
произошло:
,
отсюда
.
Воспользовавшись формулой , окончательно получим
- эта формула называется формулой Б
а й е с а или формулой в
е р о я т н о с т и г и п о т е з .
Формула Байеса дает возможность произвести переоценки вероятностей
событий
(гипотез)
после того, как стало известно, что
событие В
наступило.
Пример 7. Электролампы изготовляются на двух заводах. Первый завод производит 60% общего количества электроламп, второй – 40 %. Продукция первого завода содержит 70 % стандартных ламп, второго – 80 %. В магазин поступает продукция обоих заводов. Какова вероятность того, что купленная в магазине лампа окажется стандартной?
Решение.
Обозначим через
В событие, состоящее
в том, что куплена стандартная лампа,
- что лампа изготовлена на первом заводе,
- на втором. Из условия задачи
По формуле полной вероятности имеем
.
Пример 8. Пусть выполняется условие примера 1. Предположим, что электролампа куплена и оказалась стандартной. Найти вероятность того, что лампа изготовлена на первом заводе.
Решение. Воспользовавшись формулой Байеса и результатами примера 1, получим
.
Заметим, что до испытания вероятность этой гипотезы равнялась 0,6 , а после испытания вероятность этой гипотезы стала равняться 0,57 ( при условии, что произошло событие В ).
Пример 9. Имеется 6 урн со следующим составом шаров:
2 урны – 3 белых и 6 черных (состав );
3 урны – 3 белых и 2 черных (состав );
1
урна – 4 белых и 1 черный (состав
).
Наугад выбирается урна и из нее извлекается один шар.
а) Чему равна вероятность того, что шар окажется белым (событие В)?
б) Найти вероятность гипотезы при условии, что произошло событие В.
Решение. а) Вероятности гипотез , ,
.
Условные вероятности события В
.
По формуле полной вероятности
получим
.
б) По формуле Байеса найдем условную вероятность гипотезы :
П о в т о р е н и е и с п ы т а н и й . Ф о р м у л а Б е р н у л л и .
Если производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равно p , то вероятность того, что событие А появится в этих n испытаниях m раз выражается формулой Бернулли
, где q
= 1 - р
Вероятность того, что в n испытаниях событие наступит
а)
менее k раз
б)
более k
раз
в)
не менее k
раз
г)
не более k
раз
Если число испытаний n велико, то применение формулы Бернулли приводит к громоздким вычислениям, в этих случаях применяют локальную теорему Лапласа
где
,
(см. таблицу приложений)
для
считают, что
- четная функция
Если вероятность появления события А в каждом из n независимых испытаний мала, а число испытаний велико, то
- асимптотическая формула
Пуассона
где
.
Формулу
эту применяют тогда, когда
Пример 10: Всхожесть семян данного растения составляет 90 %. Найти вероятность того, что из пяти посеянных семян взойдут: а) четыре; б) не менее четырех.
Решение.
Воспользуемся формулой Бернулли. Если
производится n
независимых испытаний, при каждом из
которых вероятность осуществления
события А
постоянна и равна р
, а вероятность противоположного события
равна q=1-p,
то вероятность
того, что при этом событие А
осуществляется ровно т
раз, вычисляется по формуле
,
где
есть число сочетаний из n
элементов по m.
а) По условию задачи вероятность всхожести семян р=0,9; тогда q=0,1 ; в данном случае n=5 и m = 4. Подставляя эти данные в формулу Бернулли, получим
б)
Искомое событие А состоит в том, что
из пяти посеянных семян взойдут или
четыре, или пять. Таким образом,
.
Первое слагаемое уже найдено. Для
вычисления второго снова применяем
формулу Бернулли:
.
Следовательно, Р(А) = 0,328 + 0,591 = 0,919.
Пример 11: Вероятность появления события А в каждом из 625 испытаний равна 0,64. Найти вероятность того, что событие А в этих испытаниях появится ровно 415 раз.
Решение. Если число испытаний п велико, то применение формулы Бернулли приводит к громоздким вычислениям. Использование этой формулы становится практически невозможным. В таких случаях применяют приближенную формулу, которая выражает локальную теорему Лапласа.
Если вероятность наступления события А в каждом из п независимых испытаний постоянна и равна р (р отлично от нуля и единицы), а число п достаточно велико, то вероятность того, что в этих испытаниях событие А наступит т раз (безразлично в какой последовательности) вычисляется приближенно по формуле
,
где , а
Имеются готовые таблицы значений функции (см. таблицу приложения 1, [1]).
Для x>5 считают, что . Так как функция четная, то . По условию задачи п = 625, т = 415, р = 0,64. Находим q = 1-0.64 = 0.36. Определяем значение x при этих данных:
.
По
таблице находим, что
.
Подставив это значение в формулу,
получим:
.