1. Краткое описание полной прямолинейной модели псевдооптической нейронной сети и методов расчета её поведения

Ключевые понятия и идентификаторы ключевых узлов: псевдооптическая нейронная сеть, полная прямолинейная модель.

Здесь мы рассмотрим одну из наиболее изученных моделей ПНС - полную прямолинейную модель, описанную в [280] (Кузнецов О.П..2000ст-ПсевдНС). Начнем с описания основной единицы ПНС - интерферирующего нейрона. Оно содержится в [277; ,281; 282; 284](Кузнецов О.П.1995ст-НеклаПвИИ ; Кузнецов О.П.1992ст-ГологМОИвНС ; Кузнецов О.П.1993ст-МоделГПОИвНС ; Кузнецов О.П.1996ст-ПсевдНСПМ ;). Интерферирующий нейронNимеетm_N входов, выходов и характеризуется тремя положительными действительными числами: порогом, выходной интенсивностью и потенциалом, зависящим от времени и не превышающим порога. Нейрон может находиться в пассивном состоянии, в котором он воспринимает входные сигналы, или в активном состоянии, в котором он генерирует выходной сигнал. Нейроны соединены между собой однонаправленными волокнами, имеющими две характеристики: длинуdи скоростьvпрохождения сигналов. Сигналдлительности- это функция, определенная на интервале длины, где- периодическая функция с частотой, а- константа, называемая интенсивностью сигнала. Пример функцииs_i- функцияs_i(t) =sin2t. В дальнейшем считаем, что конкретный вид функциинесущественен, сигналполностью определяется тройкой параметров (,,), причем все сигналы, поступающие на вход одного нейрона, имеют одинаковую частоту. Сигналвозникает в точке волокна в моменти оканчивается в момент, если в этой точке функцияопределена на интервале [,]. Распространение сигнала по волокну с параметрамиdиvозначает, что, если в начальной точке волокна сигналвозник в момент, то в конечной точке он возникнет в момент+d/v. Для сигнала, распространяющегося со скоростьюv, введем понятие длины волны_i=. Если на входеNв моментвозник сигнал, а на другом входе в моментвозник сигнал, то величину

(6.5.1)

назовем разностью фаз между ина входе N. Состоянием входов нейрона в момент tназывается вектор, гдеI_j (t) = 0, если наj-м входе нет сигнала в момент t, иI_j (t) = I_j, если на нем есть сигнал с интенсивностьюI_j . ВеличинуI(t), вычисляемую по формуле

I(t) =cos _{i j} , (6.5.2)

назовем суммарной входной интенсивностью в момент t.

Нейрон функционирует следующим образом. Пусть в момент tнейронNпассивен и имеет потенциал, состояние входовна отрезке [t, t'] постоянно,I- суммарная интенсивность. Тогда

1)если +I (t’ - t ) < , то

= + I (t’ - t ); (6.5.3)

2)в противном случае существует момент t*,t <t*<t', такой, чтоU_N (t) + I(t^ - t)= P_N ;в моментt* нейрон становится активным, и на каждом из еговыходов возникает сигналS_N = (,,_N), где

= (6.5.4)

(время разряда равно времени заряда от сигнала с теми же параметрами). В момент t*+нейрон снова переходит в пассивное состояние;(t*+) = 0.

Формула (6.5.3) предполагает, что на данном отрезке времени существует фиксированное число входных сигналов. Однако на входах нейрона в разные моменты времени существуют разные сигналы; каждый сигнал S_iвозникает в некоторый момент, заканчивается в моментt_0i и имеет длительность_i=t_0i-t_1i. Для произвольного временного интервала справедливо следующее утверждение (его доказательство содержится в [282] (Кузнецов О.П.1993ст-МоделГПОИвНС)).

Теорема интерференции. Если на интервале [t, t'] на вход нейронаN поступилоmсигналов и потенциалне превысил порога, то

( t + t’) = ( t ) +  (2 + ) , (6.5.5)

где _i- длительность сигнала наi-м входе,_ij- длительность одновременного существования сигналов наi-м иj-м входах., а суммирование ведется по всем неупорядоченным парам (i, j).

В первой сумме формулы (6.5.5) из двух пар (i, j) и (j, i) берется только одна, причем от выбора той или иной пары зависит знак разности фаз. Но поскольку cos= cos(-), то для вычислений либо пара (i, j) всегда выбирается так, что0, т.е., либо используется более компактный вариант формулы (6.5.5):

( t + t’) = ( t ) +  () , (6.5.6)

где iиjнезависимо принимают все значения от 1 доm и, следовательно, сумма содержит и пару (i, j), и пару(j, i). Второй сумме формулы (6.5.5) в (6.5.6) соответствует сумма пар (i, i), учитывая, что cos=1, а. Нетрудно видеть, что, если на интервале [t, t'] сигналы не меняются, то (6.5.6) переходит в (6.5.3).

Следствие 1. В случае, когда все интенсивности одинаковы и равныI, формула (6.5.6) приобретает вид

( t + t’) = ( t ) + I (cos_{i j}_{i j})

Величина _{i j}выражается через разность фаз следующим образом (доказательство дано в [9]): если 0_{i j}2, то

_{i j} = _{i j} - , если  , (6.5.7)

_{i j} = _j , если < .

Если все длительности сигналов одинаковы и равны , из>следует>и второй случай в (6.5.7) невозможен, т.е.=-. Это приводит к следующему утверждению.

Следствие 2.Если все интенсивности входных сигналов равныI, а все их длительности равны, то в условиях теоремы

( t + t’) =U_N (t) + I (( - )cos_{i j} ) , (6.5.8)

где сумма берется по всем i, j, таким, что_{i j}2.

Поскольку качество голографических эффектов улучшается с увеличением числа нейронов, понижение сложности вычислений при программном моделировании ПНС является важной задачей.

Все геометрические модели ПНС основаны на общей схеме, повторяющей схемы оптической голографии. Эта схема описана в [277; 282](Кузнецов О.П.1995ст-НеклаПвИИ ; Кузнецов О.П.1993ст-МоделГПОИвНС) и содержит четыре нейронных слоя: слой-источникA, слойB, в котором размещается образ-объект, изображаемый распределением потенциалов его нейронов (чем ближе к порогу потенциал нейрона, тем "ярче" соответствующая точка образа), слойC(голограмма), в котором в результате интерференции сигналов отAиBвозникает распределение потенциалов, являющееся голографической записью информации об образеB, и слойD, в котором после "освещения" голограммыCисточником Aвосстанавливается образB. Каждый слой – это множество нейронов с одинаковыми параметрами, расположенных на некоторой поверхности на равном расстоянии друг от друга и не связанных между собой.

Рисунок 6.5.1

Из описания этой схемы видно, что выходы Aдолжны быть связаны со входамиB,выходыAиB– со входамиC, а выходыC – со входамиD. Скорости и частоты сигналов во всей сети одинаковы. Главная задача при выборе параметров модели – получение вDобраза, "похожего" на образ вB.

Полная прямолинейная модель - это геометрическая модель ПНС со следующими параметрами и свойствами:

1. Все четыре слоя - это прямолинейные параллельные отрезки, лежащие на одной плоскости. Расстояния между ними обозначим через r_AB (отAдо B), r_AC , r_BC,r_CD, соответственно, причем r_AB + r_BC =r_AC. Следуя принципам оптической голографии (восстановленное изображение объекта находится по другую сторону голограммы на том же расстоянии от нее, на котором находился сам объект), полагаемr_BC=r_CD. Волокна, соединяющие нейроны разных слоев, также прямолинейны. В дальнейшем будем называть их лучами. Все нейроны слояAимеют одинаковые порогP_A и выходную интенсивность I_A . Аналогичные параметры слоевB,Cобозначаются через P_B , P_C , I_B , I_C соответственно.

2. Число нейронов n_C иn_DвCиDодинаково:n_C =n_D=n, нейроны пронумерованы от 0 доn- 1; расстояния между нейронами одинаковы и равныe. Таким образом, отрезокCразбит точкамиC₀, ...,C_{n -1}, в которых находятся нейроны, наn- 1 отрезков длиныe; длинаCравнаe(n - 1). То же относится и кD. Все расстояния измеряются числом волн; или, что то же самое: расстояния измеряются в обычных единицах длины, но=1.

3. Отрезок Bтакже имеет длинуe(n - 1)и разбитnточкамиB₀, ...B_{n - 1}наn- 1 отрезков длиныe. Однако, в отличие отCиD, нейроны слояBмогут находиться не во всех точках. Номер нейрона слояB- это номер точки, в которой он находится.

4. Коэффициенты ветвления (числа выходов) нейронов слоев B, Cравны:q_B = q_C = n.

5. Параметры слоя Aвыбираются с учетом того, что его излучение должно моделировать два классических случая оптической голографии: точечный источник и плоскую волну. В [284] (Кузнецов О.П.1996ст-ПсевдНСПМ) плоская волна моделировалась упрощенным образом: нейронA_iбыл соединен только с нейрономC_i(т.е.q_A= 1, и интерференция в плоской волне не учитывалась). Это сильно упрощало вычисления, но снижало общность модели. В полной модели это ограничение снимается. СвязиAсBстроятся на основе следующих соображений: 1) каждая точкаB_iсоединена сnточками слояA; совокупность этихnлучей будем называть входным пучкомB_i; 2) геометрия входного пучкаB_iне зависит от его номера; этот пучок всегда симметричен относительно перпендикуляраА_iB_i. Это приводит к структуре, показанной нарис.6.5.1.Из нее видно, что в случае плоской волны число нейронов вАдолжно быть большеn, точнее, n_A2n. Аналогичная структура связей имеет место междуAиC. Поэтому для произвольногоA_iобщее число выходных лучейq_Ai2n, но для простоты полагаем всегдаq_Ai=q_A= 2n. Для случая точечного источникаn_A= 1, причем номер единственного нейронаА_iпроизволен, но по-прежнемуq_A= 2n.

6. В начальный момент потенциалы U_{C i} = U_{D i} = 0 для всех нейроновC_i иD_i. В точкеB_iнейрон может либо отсутствовать, либо присутствовать. В последнем случае его потенциалU_Biпроизволен. Распределение потенциалов в слоеB представляет одномерный образ объекта: нейрон с высоким потенциалом соответствует яркой точке объекта, нейрон с низким потенциалом - темной точке объекта, отсутствие нейрона - отсутствию объекта в данной точке.

7. Другие параметры сети и их обозначения: U_Ai , U_Bj , U_Ck , U_Dl- потенциалы нейроновA_i , B_j , C_k , D_lсоответственно;S_Ai , S_Bj , S_Ck,S_Dl- их выходные сигналы,a_ij - расстояние междуA_iиB_j (т.е. длина волокнаA_iиB_j) , b_jk- расстояние междуB_jиC_k , c_ik- расстояние междуA_iиC_k , d_kl- расстояние междуC_kиD_l.

8. Общая схема сети приведена на рис.6.5.1. Из нее видно, что расстояния a_ij , b_jk , c_ik , d_klвычисляются по теореме Пифагора, например,b_0k= . Число различных лучейB_jC_k равноn², однако число различных расстоянийb_ikравноn:посколькуb_ik=b_{0, i - k}, то массив { b₀₀, …,b_0,n-1} содержит все расстоянияb_ik. Для краткости вместоb_0kбудем писатьb_k. Тогдаb_ik=b_{i - k}, в частности,b_ii= b₀=r_BC. Аналогичные соотношения и обозначения сохраняются и для расстояний между другими парами слоев. Кроме того,b_{i j} = d_{i j}для всехi, j.

Подробное описание методов расчёта поведения вышеописанной модели псевдооптической нейросети приведено в источнике [280](Кузнецов О.П..2000ст-ПсевдНС).