Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Виленкин Сборник .doc

Скачиваний:

Добавлен:

01.07.2025

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

Введение в математический анализ

Задача 3

Найти пределы функции.

3.1

3.2

3.3

3.4

3.5

3.6

3.7

3.8

3.9

3.10

3.11 a)

б)

3.12 a)

б)

3.13 a)

б)

3.14 a)

б)

3.15 a)

б)

3.16 a)

б)

3.17 a)

б)

3.18 a)

б)

3.19 a)

б)

3.20 a)

б)

Производная и ее приложения

Задача 4

Найти производные заданных функций

(в случаях г и д найти производные второго порядка ).

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

4.6

4.7

4.8

4.9

4.10

4.11 а) б) в)

г) д)

4.12 а) б) в)

г) д)

4.13 а) б) в)

г) д)

4.14 а) б) в)

г) д)

4.15 а) б) в)

г) д)

4.16 а) б) в)

г) д)

4.17 а) б) в)

г) д)

4.18 а) б) в)

г) д)

4.19 а) б) в)

г) д)

4.20 а) б) в)

г) д)

Функции нескольких переменных

Задача 5

5.1 Дана функция . Показать, что

5.2 Дана функция . Показать, что

5.3 Дана функция . Показать, что

5.4 Дана функция . Показать, что

5.5 Дана функция . Показать, что

5.6 Дана функция . Показать, что

5.7 Дана функция . Показать, что

5.8 Дана функция . Показать, что

5.9 Дана функция. . Показать, что

5.10 Дана функция . Показать, что

5.11 Дана функция . Показать, что

5.12 Дана функция . Показать, что

5.13 Дана функция . Показать, что

5.14 Дана функция . Показать, что

5.15 Дана функция . Показать, что

5.16 Дана функция . Показать, что

5.17 Дана функция . Показать, что

5.18 Дана функция . Показать, что

5.19 Дана функция . Показать, что

5.20 Дана функция . Показать, что

Задача 6

Дана функция точка и вектор . Найти: 1) grad z в точке А ; 2) производную в точке А по направлению вектора .

6.1 z = 3x²y² + 5xy²; A(1; 1), .

6.2 z = 3x⁴ + 2x²y³; A(-1; 2), .

6.3 z =ℓn(3x² + 4y²); A(1; 3), .

6.4 z = arсsin ; A(1; 2), .

6.5 z = arсtg ( xy²); A(2; 3), .

6.6 z = 5x² + 6xy; A(2; 1), .

6.7 z =ℓn(5x² + 4y²); A(1; 1), .

6.8 z =ℓn(5x² + 3y²); A(1; 1), .

6.9 z = 2x² + 3xy+y²; A(2; 1), .

6.10 z = x² + xy+y²; A(1; 1), .

6.11

6.12

6.13

6.14

6.15

6.16

6.17

6.18

6.19

6.20

Интегралы

Задача 7

Найти неопределенные интегралы. В двух первых примерах (п. а) и б)) проверить результаты дифференцированием.

7.1 а) ; б) ; в) ; г) .

7.2 а) б) в) ; г) .

7.3 а) ; б) ; в) ; г) .

7.4 а) ; б) ; в) ; г) .

7.5 а) ; б) ; в) ; г) .

7.6 а) ; б) ; в) ; г) .

7.7 а) ; б) ; в) ; г) .

7.8 а) ; б) ; в) ; г) .

7.9 а) ; б) ; в) ; г) .

7.10 а) ; б) ; в) ; г) .

7.11 а) б) в) г)

7.12. а) б) в) г)

7.13. а) б) в) г)

7.14. а) б) в) г)

7.15. а) б) в) г)

7.16. а) б) в) г)

7.17. а) б) в) г)

7.18. а) б) в) г)

7.19. а) б) в) г)

7.20. а) б) в) г)

Задача 8

Вычислить площадь области, ограниченной линиями.

Дифференциальные уравнения

Задача 9

Найти общие интегралы дифференциальных уравнений

9.1. а) б)

9.2. а) б)

9.3. а) б)

9.4. а) б)

9.5. а) б)

9.6. а) б)

9.7. а) б)

9.8. а) б)

9.9. а) б)

9.10. а) б)

9.11. а) б)

9.12. а) б)

9.13. а) б)

9.14. а) б)

9.15. а) б)

9.16. а) б)

9.17. а) б)

9.18. а) б)

9.19. а) б)

9.20. а) б)

Задача 10

Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения при данных начальных условиях .

10.1 ; .

10.2. ; .

10.3. ; .

10.4. ; .

10.5. ; .

10.6. ; .

10.7. ; .

10.8. ; .

10.9. ; .

10.10.

10.11.

10.12.

10.13.

10.14.

10.15.

10.16.

10.17.

10.18.

10.19.

10.20.

5 УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ РАБОТЫ, ТРЕБОВАНИЯ К ОФОРМЛЕНИЮ И ПОРЯДОК ПРЕДОСТАВЛЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ НА РЕЦЕНЗИЮ

Основной формой обучения студента-заочника является самостоятельная работа над учебным материалом, которая состоит из следующих элементов: изучение материала по учебникам, решение задач, выполнение контрольных работ. В помощь заочникам проводятся лекционные и практические занятия. Кроме того, студент может обращаться к преподавателю с вопросами для получения письменной или устной консультации. Указания студенту по текущей работе даются также в процессе рецензирования контрольных работ.

Перед выполнением контрольной работы необходимо изучить материал по учебнику. Особое внимание следует обращать на определение основных понятий. Студент должен подробно разбирать примеры, и уметь строить аналогичные примеры самостоятельно. При изучении материала необходимо вести конспект.

При выполнении контрольных работ необходимо придерживаться правил:

1. Контрольные работы оформляются в отдельной тетради.

2. Титульный лист оформляется по образцу.

3. Решение записывается четким, разборчивым почерком, синими чернилами.

4. Перед решением должно быть обязательно записано условие задачи.

5. Решение задач необходимо излагать подробно, чертежи выполнять

аккуратно, с помощью линейки и карандаша.

Целью выполнения контрольных работ является - оказание помощи студенту в его работе. Рецензии на эти работы позволяют студенту судить о степени усвоения им материала, указывают на имеющиеся у него пробелы.

Выполненная контрольная работа должна быть предоставлена студентом на кафедру высшей математики (331 аудитория) не позднее, чем за неделю до назначенного экзамена по этому предмету. Контрольная работа сдается сначала лаборанту для регистрации. Результат проверки работы студент узнает у лаборанта. После выполнения контрольной работы преподаватель проводит собеседование. Завершающим этапом изучения является сдача экзамена.

Без зачтенной контрольной работы студент не допускается к экзамену.

6 УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Задача 1 Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄.

Требуется найти:

Угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;
Площадь грани А₁А₂А₃;
Уравнение плоскости А₁А₂А₃;
Объем пирамиды;
Уравнение и длину высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃;
Проекцию А₁А₄ на плоскость А₁А₂А₃;
Уравнение плоскости, параллельной А₁А₂А₄, проходящей через вершину А₃;
Угол между плоскостями А₁А₂А₃ и А₁А₂А₄;
Выполнить чертеж пирамиды в пространстве.

А₁(2; 0; -3), А₂(1; 1; -4), А₃(0; -1; 3), А₄(4; -2; 0).

Решение

Угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄ найдем как угол между векторами и .

{1-2; 1-0; -4+3}={-1; 1; -1}

{4-2; -2-0; 0+3}={2; -2; 3}

Найдем длины векторов

Косинус угла между векторами и равен

φ = arсcos (-0,9802)=π-arccos 0,9802= 168°36^/

Для нахождения площади грани А₁А₂А₃ используем векторное произведение векторов .

{0-2; -1-0; 3-(-3)}={-2; -1; 6}

S∆=

{-1; 1; -1} , {-2; -1; 6}

{5; 8; 3}

S∆= (кв.ед.)

Найдем уравнение плоскости А₁А₂А₃, зная, что А₁(2; 0; -3), А₂(1; 1; -4), А₃(0; -1; 3).

5х+8y+3z-1=0 – уравнение плоскости А₁А₂А₃.

Для нахождения объема пирамиды используем смешанное произведение векторов , , , приняв во внимание, что треугольная пирамида составляет объема параллелепипеда.