3. Числовые множества

Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми.

Множество натуральных чисел N содержит числа 1, 2, 3, …:

N = { 1, 2, 3, …}.

Множество целых чисел Z содержит натуральные числа, взятые со знаком + (плюс) или – (минус), а также нуль:

Z = { …, - 3, - 2, - 1, 0, + 1, + 2, + 3, …}.

Множество рациональных чисел Q содержит числа, которые можно представить в виде дроби , где p и q – целые числа (как положительные, так и отрицательные): Q = { | p, q Z}.

Множество иррациональных чисел I (от лат. irrationalis - неразумный) содержит числа, которые можно представить в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.

К иррациональным числам относятся, например, числа , , е , .

Множества рациональных и иррациональных чисел образуют множество действительных (вещественных) чисел R.

Геометрически множество действительных чисел изображается точками числовой прямой (или числовой оси), т.е. прямой, на которой выбрано начало отсчёта, положительное направление и единица масштаба.

Между множеством действительных чисел и точками числовой прямой существует взаимно однозначное соответствие, т.е. каждому действительному числу соответствует определённая точка числовой прямой, и наоборот, каждой точке числовой прямой – определённое действительное число. Поэтому часто вместо «число х» говорят «точка х».

Множество действительных чисел Х, элементы которого х удовлетворяют:

• неравенству , называется отрезком [ ];

• неравенству , называется интервалом ( );

• неравенствам или - полуинтервалами соответственно [ ) или ( ].

Кроме того, рассматриваются бесконечные интервалы и полуинтервалы , , , , .

В дальнейшем все указанные множества будем называть термином промежуток Х.

Множества N, Z, Q и R связаны следующим соотношением:

N Z Q R.

Опр.: Пусть любое действительное число (точка на числовой прямой) Окрестностью точки называется любой интервал ( ), содержащий точку . В частности, интервал , т.е. множество точек х, таких, что ,

где , называется -окрестностью точки .

Опр.: Модулем или абсолютной величиной действительного числа х называется само число х, если х неотрицательно, и число – х, если х отрицательно:

Свойства модуля:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) .

4. Числовые последовательности

Опр.: Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие действительное число х_n: n N R, то множество действительных чисел

х₁, х₂, …, х_n, …

называется числовой последовательностью или просто последовательностью. Числа х₁, х₂, …, х_n, … называют членами (элементами) последовательности, х_n – общим членом последовательности, n - его номером. Сокращённо последовательность обозначают так: {х_n}.

Из определения следуют утверждения:

1) любая последовательность содержит бесконечное число элементов;

2) любые два члена последовательности отличаются, по крайней мере, своими номерами.

Последовательность считается заданной, если указан способ получения любого её элемента. Аналитический способ предполагает задание последовательности с помощью формул, например, х_n = f (n), где n N.

Геометрически последовательность изображают в виде точек на числовой прямой, координаты которых равны соответствующим членам последовательности (рис. 2), или на плоскости точками (рис. 1) с координатами (n, х_n).

Пример: Формула х_n = задаёт последовательность чисел

.

График этой последовательности представлен на рис. 1.

Рис. 6. График последовательности

На числовой прямой эта последовательность может быть изображена в виде точек, координаты которых равны соответствующим членам последовательности

Рис. 7. Последовательность