6. Интегрирование иррациональных функций

Интегралы от иррациональных функций обычно приводят с помощью соответствующих замен или преобразований к интегралам от рациональных функций или сразу к табличным интегралам. При выборе методов решения полезны следующие правила.

1. Интегралы вида

,

где R – рациональная функция; , ,

преобразуются к интегралам от рациональных функций с помощью подстановки , где s – наименьшее общее кратное чисел .

Пример. Найти интеграл .

Решение. Подынтегральная функция является иррациональной функцией. Сделаем замену , откуда

= .

Подынтегральная функция полученного интеграла является неправильной рациональной дробью. Разделив числитель на знаменатель, получим

,

откуда

= = =

2. Интегралы вида путём выделения полного квадрата из квадратного трехчлена приводятся к табличным интегралам

или .

3. Интегралы вида путём выделения в числителе производной квадратного трехчлена, стоящего под знаком корня, раскладывают на сумму двух интегралов

= =

= ,

из которых первый – табличный, а второй рассмотрен выше.

Пример. Найти интеграл .

Решение. Аналогично вычислению интеграла III типа от рациональной функции, выполним три вспомогательных действия.

1) Обозначим квадратный трехчлен, стоящий под знаком корня, через = t², откуда, дифференцируя, получим , или .

2) Выделим в числителе дроби производную знаменателя:

.

3) Выделим в знаменателе дроби полный квадрат:

= .

Тогда исходный интеграл можно представить в виде суммы двух интегралов

= = .

Первый из полученных интегралов вычислим с помощью замены = t², второй – табличный. Окончательно получим:

= .

4. Для интегралов вида , где m, n, p – рациональные числа, точное решение может быть найдено только в трёх случаях:

1) p – целое число, тогда интеграл сводится к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки , где s – наименьшее общее кратное знаменателей дробей m и n;

2) – целое число, тогда интеграл сводится к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки , где s – наименьшее общее кратное знаменателей дробей m и n;

3) – целое число, тогда интеграл сводится к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки , где s – знаменатель дроби p.

Пример. Найти интеграл .

Решение. Заданный интеграл можно представить в виде:

.

Тогда m = -3, a = 2, b = -1, n =3, p = -1/3; p Z, ,

используем подстановку :

, откуда, дифференцируя, получим , или .

Преобразуем подынтегральное выражение следующим образом:

,

тогда

= =

=

7. Интегрирование тригонометрических функций

Если подынтегральная функция в неопределённом интеграле является тригонометрической, то её преобразуют с помощью тригонометрических формул к табличному виду, или используют различные подстановки.

При выборе подстановок для вычисления интеграла вида

,

где R – рациональная функция, рекомендуется использовать следующие правила.

1. Если - нечётная функция относительно sin x, то интеграл преобразуется к интегралу от рациональных функций с помощью подстановки .

2. Если - нечётная функция относительно cos x, то интеграл преобразуется к интегралу от рациональных функций с помощью подстановки .

3. Если - чётная функция относительно sin x и cos x, то интеграл преобразуется к интегралу от рациональных функций с помощью подстановки . При этом имеем:

, откуда ;

; .

4. Универсальная тригонометрическая подстановка сводит интеграл к интегралу от рациональной функции. При этом имеем:

, откуда ;

; . .

Пример. Найти интеграл .

Решение. Применим универсальную тригонометрическую подстановку , тогда

=

= .

Пример. Найти интеграл .

Решение. Подынтегральная функция является чётной, поэтому применив подстановку , получим

= .

Контрольные вопросы: