2. Проверка статистических гипотез Статистическая гипотеза. Нулевая и конкурирующая гипотезы

Часто необходимо знать закон распределения генеральной совокупности. Если закон не известен, то можно предположить, что он имеет определенный вид (А), выдвигают гипотезу: генеральная совокупность распределена по закону А.

Возможен случай, когда закон распределения известен, а его параметры неизвестны. Если есть основания предположить, что неизвестный параметр Θ равен определенному значению Θ₀, выдвигают гипотезу Θ=Θ_0.

Определение. Статистической гипотезой называется гипотеза о виде неизвестного распределения или о параметрах известных распределений.

Например, статистическими являются гипотезы:

- генеральная совокупность распределена по закону Пуассона;

- дисперсия нормального распределения равна 6.

Наряду с выдвинутой гипотезой рассматривают и противоречащую ей гипотезу. Если выдвинутая гипотеза будет отвергнута, то будет иметь место противоречащая гипотеза.

Определение. Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу H₀.

Определение. Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу H₁, которая противоречит нулевой.

Например, если нулевой гипотезой является предположение, что математическое ожидание a нормального распределения равно 10, то конкурирующая гипотеза состоит в том, что а 10. Коротко записывают: H₀: a=10, H₁: а 10.

Ошибки первого и второго рода

Выдвинутая гипотеза может быть правильной или неправильной, поэтому возникает необходимость ее проверки. Проверка осуществляется статистическими методами, поэтому ее называют статистической. В итоге статистической проверки гипотезы может быть принято неправильное решение в двух случаях, то есть могут быть допущены ошибки двух родов.

Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная гипотеза.

Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята неправильная гипотеза.

Последствия этих ошибок могут быть различными. Например, если будет отвергнуто верное решение «продолжать торговлю данным товаром для населения», то эта ошибка первого рода может привести к оттоку части покупателей, некоторые покупатели будут приобретать необходимый товар в другой торговой точке; если принято неверное решение «продолжать торговлю данным товаром для населения», то эта ошибка второго рода может принести материальный ущерб для фирмы.

Статистический критерий проверки нулевой гипотезы

Для проверки статистической гипотезы используют специально подобранную случайную величину, точное или приближенное распределение которой известно. Обозначим эту величину за K.

Определение. Статистическим критерием называют случайную величину K, которая служит для проверки нулевой гипотезы.

Для проверки гипотезы по данным выборки вычисляют значения входящих в критерий величин и таким образом получают наблюдаемое значение критерия.

Определение. Наблюдаемым значением K_набл называется значение критерия, вычисленное по выборкам.

Критическая область. Область принятия гипотезы. Критические точки

После выбора определенного критерия множество всех его возможных значений разбивают на два непересекающихся подмножества: одно из них содержит значения критерия, при которых нулевая гипотеза отвергается, а другая – при которых она принимается.

Определение. Критической областью называют совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают.

Определение. Областью принятия гипотезы называют совокупность значений критерия, при которых гипотезу принимают.

Основной принцип проверки статистических гипотез состоит в следующем: если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области, то нулевую гипотезу отвергают, если наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы – гипотезу принимают.

Критическая область и область принятия гипотезы являются числовыми промежутками, которые отделяются критическими точками.

Определение. Критическими точками k_кр называются точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы.

Различают одностороннюю (правостороннюю или левостороннюю) и двустороннюю критические области.

Определение. Правосторонней называют критическую область, определяемую неравенством K>k_кр, где k_кр>0.

0 k_кр K

Определение. Левосторонней называют критическую область, определяемую неравенством K<k_кр, где k_кр<0.

k _кр 0 K

Определение. Двусторонней называют критическую область, определяемую неравенствам K<k₁, K>k₂,где k₂>k₁.

k₁ 0 k₂ K

Для определения правосторонней критической области (k_кр, ) задают достаточно малый уровень значимости α. Затем ищут критическую точку k_кр, исходя из условия, что если нулевая гипотеза верна, то вероятность того, что критерий K примет значение, большее k_кр, была равна принятому малому уровню значимости α: P(K>k_кр)=α. Для каждого критерия имеются соответствующие таблицы, по которым находят критическую точку, удовлетворяющую этому требованию.

Для отыскания левосторонней области ( , k_кр) поступают аналогично. Критическую точку k_кр находят из условия, что при справедливости нулевой гипотезы, вероятность того, что критерий примет значение, меньшее k_кр, была равна принятому уровню значимости α: P(K<k_кр)=α.

Двусторонняя критическая область имеет вид: (k₁, k₂). Критические точки k₁ и k₂ находят из требования, чтобы при справедливости нулевой гипотезы сумма вероятностей того, что критерий примет значение, меньшее k₁ или большее k₂, была равна принятому уровню значимости: P(K<k₁)+P(K>k₂)=α. При этом критические точки могут быть выбраны бесчисленным множеством способом. Если же распределение критерия симметрично относительно нуля, то критические точки k₁ и k₂ можно считать симметричными,

k₁= -k₂. Тогда P(K<k₁)=P(K>k₂), а из условия P(K<k₁)+P(K>k₂)=α следует, что P(K>k₂)= .