Решение матричных игр в чистых стратегиях

Для решения все возможные варианты (исходы) игры сводятся в пря­моугольную таблицу – платежную матрицу, в которой строки соответствуют различным стратегиям игрока А, столбцы – стратегиям игрока В, q_ij назы­вается ценой игры.

Для нахождения оптимальной стратегии необходимо проанализировать все возможные стратегии и рассчи­тывать на то, что разумный противник на каждую из них будет отвечать такой, при которой выигрыш игрока А минимален. Обычно минимальные числа в каждой стро­ке обозначаются α_i и выписываются в виде добавочного столбца матрицы (табл.1).

Таблица 1.

	В1	В2	…	Вn	αi
А1	q11	q12	…	q1n	α1
А2	q21	q22	…	q2n	α2
…	…	…	…	…	…
Аm	qm1	qm2	…	qmn	αi
βj	β1	β2	…	βj

В каждой строке будет свое . Предпочтительной для игрока А является стратегия, при которой α_i обращается в максимум, то есть:

или ,

где α – максиминный выигрыш (максимин), а соот­ветствующая ей стратегия – максиминная.

Если придерживаться максиминной стратегии, то при любом поведении стороны В (конкурента) гаран­тирован выигрыш, во всяком случае не меньше α. Поэтому α называют также нижней ценой игры – тот гаран­тированный минимум, который можно обеспечить при наиболее осторожной (перестраховочной) стратегии.

Аналогичные распределения можно провести и для конкурента В, который должен рас­смотреть все свои стратегии, выделяя для каждой из них максимальные значения проигрыша:

(последняя строка матрицы). Из всех значений β_j находят минимальное:

,

которое дает минимаксный проигрыш или минимакс.

Такая β - стратегия — минимаксная, придерживаясь которой сторона В имеет гарантию, что в любом случае проиграет не больше β. Поэтому β называют верхней ценой игры.

Если α = β = С, то число С называют чистой ценой игры или седловой точкой.

Для игры с седловой точкой нахождение решения состоит в выборе пары максиминной и минимаксной стратегий, которые являются оптимальными, так как любое отклонение от этих стратегий приводит к умень­шению выигрыша первого игрока и увеличению про­игрыша второго игрока по сравнению с ценой игры С.

Пример. Конструктор получил задание разработать определен­ное новое изделие. В результате исследований он определил три возможных варианта изделия У₁, У₂, У₃, каждый из которых может быть реализован каким-либо из трех техпроцессов Т₁, Т₂, Т₃.

Если первый вариант конструкции У₁ реализуется по первой технологии Т₁, то внешний вид изделия оказыва­ется наилучшим и оценивается экспертами в 9 баллов, а при реализации по второй технологии – в 6 баллов, по третьей – в 5 баллов и т. д. (табл.2).

Таблица 2.

Матрица игры для конструктивного и технологического вариантов

Конструкция	Технология
	Т1	Т2	Т3
У1 У2 У3	9 8 7	6 7 5	5 7 8	5(Т3) 7 (Т2 или Т3) 5(Т2)
	9	7	8

Решение.

Конфликтная ситуация возникает из-за того, что затраты на реализацию каждого конструкторско-технологического решения (варианта) не одинаковы. Для простоты полагаем, что затраты пропорциональны внеш­нему виду (чем выше балл, тем больше затраты).

Конструктор должен представить только один вари­ант – самый красивый. Но он понимает, что тогда найдутся сторонники самого дешевого варианта («экономисты»). Поэтому его задача выбрать оптималь­ный вариант по внешнему виду и стоимости.

Если конструктор выберет У₁, то экономисты будут настаивать на технологии Т₃. На вариант У₂ будет ответ Т₂ или Т₃ и т. д.

Очевидно, что с точки зрения конструктора пре­имущество имеет вариант У₂, но даже при неблагоприятных обстоятельствах получится изделие, оцениваемое в 7 баллов (выигрыш 7), а может быть даже 8, если удается уговорить экономистов на ва­риант Т₁.

С точки зрения экономистов в смысле снижения затрат: при выборе технологии Т₁ в варианте У₁ затраты наи­большие — 9 баллов, при Т₂ в У₂ (7), при Т₃ в У₃ (8).

То есть для экономистов оптимальным является техпроцесс Т₂, так как он требует меньших затрат при различных вариантах конструкции. Следовательно, стра­тегия Т₂У₂ с выигрышем 7 – наиболее выгодная сразу для обеих сторон – максимальный выигрыш У совпадает с минимальным проигрышем Т.

Важно помнить, что в матричной игре может быть несколько седловых точек. И еще: седловой элемент q_ij является наименьшим в i-ой строке и наибольшим в j-м столбце, поэтому, если игрок В отклонится от своей минимаксной стратегии, его проигрыш может только увеличиться. Анало­гично, отклонение игрока А от своей максиминной стратегии ведет к уменьшению его выигрыша. Таким образом, наиболее предпочтительные стратегии в игре с седловой точкой обладают свойством устойчивости, создают ситуацию равновесия. От­сюда следует, что если в матрице игры существует седловой элемент, то наилучшими для игроков являются наиболее пред­почтительные чистые стратегии.