Алгоритм составления системы уравнений Колмогорова

1. В левую часть каждого уравнения ставится производная веро­ятности i-го состояния по времени.

2. В правую часть каждого уравнения ставится:

а) сумма произведений вероятностей всех состояний, из кото­рых идут стрелки в i-е состояние, на интенсивности соответствующих потоков событий;

б) минус суммарная интенсивность всех потоков, выводящих систему из данного состояния, умноженная на вероятность i-го состояния.

В полученной системе Колмогорова независимых уравнений на единицу меньше их общего числа. Для решения системы добавляют уравнение (9.4).

Задав начальные условия и решив систему дифференциальных уравнений Колмогорова, находят систему функций времени р_i(t), где i – номер состояния. Это позволяет получить дискретное рас­пределение вероятностей системы массового обслуживания для лю­бого момента времени.

Система массового обслуживания с отказами

Граф состояний Эрланга системы массового обслуживания с отказами представлен на рис. 2:

Рис. 2. СМО с отказами

Поступающая заявка последовательно переводит систему из лю­бого левого состояния в соседнее правое с интенсивностью λ. Ин­тенсивность потока обслуживания прямо пропорциональна количе­ству заявок, находящихся на обслуживании. Для состояния S_k, ко­гда в системе на обслуживании находится k заявок, интенсивность обслуживания раина k_μ, где μ - интенсивность обслуживания од­ной заявки. Формулы для предельных вероятностей состояний сис­темы следуют из (9.5) при подстановке в них данных графа со­стояний системы массового обслуживания с отказами (рис. 9.2):

(9.5)

Предельная интенсивность потока заявок

(9.6)

Подставив (9.6) в (9.5) получим соотношения называемые формулами Эрланга.

Вероятностью отказа является предельная вероятность того, что все каналы СМО заняты. Так как р_n является вероятностью того, что заняты все n каналов, то вероятность отказа вычисляется по формуле:

(9.7)

Вероятность того, что заявка будет обслужена, определяется со­отношением:

(9.8)

Абсолютная пропускная способность СМО, или среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени,

(9.9)

Среднее число занятых каналов является интенсивностью потока обслуженных СМО заявок в единицу времени:

(9.10)

Простейшим случаем СМО с отказами является одноканальная система, граф состояний которой представлен на рис. 3:

Рис. 3. Простейшая одноканальная СМО с отказами

Для одноканальной СМО с отказами предельные вероятности могут быть определены из формул Эрланга.

Вероятность отказа является предельной вероятностью того, что канал СМО занят:

(9.11)

Вероятность того, что заявка будет обслужена:

(9.12)

Абсолютная пропускная способность СМО, или среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени:

(9.13)

Среднее число занятых каналов, являющееся интенсивностью потока обслуженных СМО заявок в единицу времени:

(9.14)

По величине среднее число занятых каналов совпадает с веро­ятностью отказа.

Среднее время обслуживания одной заявки обратно пропорцио­нально интенсивности обслуживания:

(9.15)