Алгоритм вычисления обратной матрицы.

Вычислить определитель данной матрицы

|A|0

|A|=0

Найти транспонированную матрицу A

Обратной матрицы нет

Найти алгебраические дополнения элементов матрицы A и составить из них присоединенную матрицу , записывая алгебраические дополнения на соответствующих местах.

Найти обратную матрицу по формуле:

.

Ход занятия

1. Инструктаж по ТБ в компьютерном классе.

2. На лабораторном занятии используется работа в парах (или малых группах).

Студентам необходимо:

- ознакомиться с основными теоретическими сведениями по каждой

из рассматриваемых тем;

- ответить на контрольные вопросы по каждой из рассматриваемых

тем;

- изучить решение общих исходных практических заданий;

- выполнить представленные задания для малых групп;

- оформить отчет о лабораторной работе;

- защитить лабораторную работу

Основные теоретические сведения по теме: "Матрицы. Основные операции с матрицами"

Матрица—это прямоугольный массив чисел, записанный в форе строк и столбцов: А= .

Каждое число в матрице называется элементом матрицы.

Размерностью матрицы называется совокупность двух чисел, состоящая из числа её строк m и числа столбцов n.

Если m=n, то матрицу называют квадратной матрицей порядка n.

Операции над матрицами: транспонирование матрицы, умножение (деление) матрицы на число, сложение и вычитание, умножение матрицы на матрицу.

Переход от матрицы А к матрице А^т, строками которой являются столбцы, а столбцами —строки матрицы А, называется транспонированием матрицы А.

Пример: А= , А^т = .

Чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый элемент матрицы умножить на это число.

Пример: 2А= 2· = .

Суммой (разностью) матриц А и В одинаковой размерности называется матрица С=А В, элементы которой равны с_ij = a_ij b_ij для всех i и j.

Пример: А = ; В = . А+В= = .

Произведением матрицы А_{m n} на матрицу В_{n k} называется матрица С_{m k}, каждый элемент которой c_ij равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующий элемент j-го столбца матрицы В:

c_ij= a_i1· b_1j + a_i2·b_2j +…+ a_in·b_nj.

Чтобы можно было умножить матрицу на матрицу, они должны быть согласованными для умножения, а именно число столбцов в первой матрице должно быть равно числу строк во второй матрице.

Пример: А= и В = .

А·В—невозможно, т.к. они не согласованы.

В·А= . = = .

Свойства операции умножения матриц.

1. Если матрица А имеет размерность m n, а матрица В—размерность n k, то произведение А·В существует.

Произведение В·А может существовать, только когда m=k.

2. Умножение матриц не коммутативно, т.е. А·В не всегда равно В·А даже если определены оба произведения. Однако если соотношение А·В= В·А выполняется, то матрицы А и В называются перестановочными.

3. Операция умножения матриц ассоциативна, т.е.

(А·В)·С = А·(В·С).

4. Операция умножения матриц дистрибутивна по отношению к алгебраическому сложению:

А·(В С) = А·В А·С;

(А В) С= А·С В·С.

5. Если произведение А·В определено, то для любого числа верно соотношение

( А·В) = ( А)·В = А·( В).

6. Если определено произведение А·В, то определенно произведение В^т·А^т и выполняется равенство

(А·В) ^т = В^т·А^т.

(А·В·С) ^т = С^т ·В^т·А^т,

при условии, что определено произведение матриц А·В·С.

7. Матрицу А можно умножить саму на себя только если она квадратная.

8. Произведение двух матриц может дать нулевую матрицу, хотя ни одна из матриц-сомножителей не является нулевой.

Две матрицы называются эквивалентными или равносильными (но не равными), если одна из них может быть получена из другой элементарными преобразованиями.

Элементарные преобразования матриц:

- перемена местами двух строк (столбцов);

- умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;

- прибавление (вычитание) к элементам одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число;

- отбрасывание строки (столбца), целиком состоящий из нулей.