3.2. Оценка параметров регрессионной модели

Для нахождения оценок параметров b_j множественной линейной регрессионной модели (коэффициентов эмпирического уравнения регрессии) используется метод наименьших квадратов (МНК). Суть МНК заключается в минимизации суммы квадратов отклонений наблюдаемых выборочных значений y_i зависимой переменной Y от их модельных оценок . Отклонение е_i, соответствующее уравнению регрессии в i-м наблюдении (i = 1, 2, …, n), рассчитывается по формуле:

. (3.7)

Тогда для нахождения коэффициентов по МНК минимизируется следующая функция m + 1 переменных:

. (3.8)

Необходимым условием минимума функции G является равенство нулю всех ее частных производных по Частные производные квадратичной функции (3.8) являются линейными функциями относительно параметров:

. (3.9)

Приравнивая (3.9) к нулю, получаем систему m + 1 линейных нормальных уравнений с m + 1 неизвестными для определения параметров модели:

(3.10)

где j = 1, 2, …, m – определяет набор регрессоров.

Следует заметить, что включение в модель новых объясняющих переменных усложняет расчет коэффициентов множественной линейной регрессии путем решения системы (3.10) по сравнению с парной моделью. Система из трех уравнений, соответствующая модели с двумя объясняющими переменными , может быть легко решена методом определителей. Однако в общем виде решение системы (3.10) и анализ множественной регрессионной модели наиболее целесообразно проводить в векторно-матричной форме [15,17].

Тогда, вводя матричные обозначения, запишем:

, , .

Здесь Y – n-мерный вектор-столбец наблюдений зависимой переменной; Х – матрица размерности n · (m + 1) значений объясняющих переменных x_ij, в которой единица соответствует переменной при свободном члене ; – вектор-столбец размерности m + 1 оценок параметров модели (коэффициентов уравнения регрессии); е – вектор-столбец размерности n отклонений выборочных (реальных) значений y_i зависимой переменной, от значений оценок , получаемых по уравнению регрессии.

В матричной форме модель (3.1) примет вид:

Y = XB + . (3.11)

Оценкой этой модели по выборочным данным является уравнение (эмпирическая модель)

. (3.12)

Предпосылки МНК (см. раздел 2.4.1.) в матричной форме можно записать следующим образом:

1. M() = 0; 2. D() = σ²I; 3. Матрица ковариаций V() = M( · ^T) = σ²E,

где  = – вектор-столбец случайных отклонений (ошибок);

I = – (n · 1) вектор;

E = E_n×n = – единичная матрица;

– матрица ковариаций или ковариационная матрица вектора случайных отклонений, которая является многомерным аналогом дисперсии одной переменной и в которой, если предпосылка о некоррелированности отклонений _i и _j выполняется, все элементы, не лежащие на главной диагонали, равны нулю, а элементы главной диагонали равны одной и той же дисперсии D(_i) = σ²; 4.  – нормально распределенный случайный вектор, т. е.  ~ N(0, σ²Е); 5. r(X) = m + 1 > n – детерминированная матрица объясняющих переменных (регрессоров) имеет ранг r, равный числу определяемых параметров модели m + 1, кроме того, число имеющихся наблюдений каждой из объясняющих переменных и зависимой переменной превосходит ранг матрицы Х.

Выполнение пятой предпосылки означает линейную независимость объясняющих переменных (линейную независимость столбцов матрицы Х), т. е. отсутствие функциональной мультиколлинеарности.

Наша задача заключается в нахождении вектора оценок по МНК, который, при выполнении предпосылок 1–5, обладает наименьшим рассеянием относительно параметра B.

Воспользовавшись известными соотношениями матричной алгебры и правилами дифференцирования по векторному аргументу, получим необходимое условие минимума функции G (равенство нулю вектор-столбца частных производных )

(3.13)

откуда вытекает система нормальных уравнений в матричной форме для определения вектора

(3.14)

где Х^Т – транспонированная матрица.

Решением уравнения (3.14) является вектор оценок:

(3.15)

где (Х^ТХ)^1 – матрица, обратная Х^ТХ; Х^ТY – вектор-столбец свободных членов системы.

Найдем матрицы, входящие в матричное уравнение (3.14):

. (3.16)

Матрица Х^ТХ образует симметричную матрицу сумм первых степеней, квадратов и попарных произведений n наблюдений объясняющих переменных.

. (3.17)

Матрица Х^ТХ представляет вектор-столбец произведений n наблюдений объясняющих и зависимой переменных.

Зная вектор коэффициентов множественной линейной регрессии (3.15), находим оценку (групповую среднюю) зависимой переменной Y при заданном векторе значений объясняющей (факторной) переменной [11,28].

Пример 3.1. Для иллюстрации получим формулы для расчета коэффициентов парной регрессии (m = 1), используя матричные обозначения.

В соответствии с (3.17) определим матрицу А^1 = (Х^ТХ)^1 по формуле:

,

где detA – определитель матрицы Х^ТХ; A^*– присоединенная матрица (транспонированная матрица алгебраических дополнений).

Для данного примера:

.

, .

.

Тогда вектор оценок для частного случая m = 1 определяется как:

,

откуда следуют формулы (2.11) для определения параметров парной регрессионной модели.