Лабораторная работа № 4 Вероятностное моделирование динамики систем на основе цепей Маркова с дискретным временем

Цели работы

1. Освоить основные положения теории конечных цепей Маркова (ЦМ) с дискретным временем.

2. Научиться составлять ЦМ для моделирования систем и анализа динамики их функционирования.

3. Научиться вычислять характеристики функционирования ЦМ.

Содержание работы

1. Изучить теоретический материал по ЦМ по учебному пособию (глава 3), по лекциям или другим источникам.

2. Для заданного варианта модели системы составить матрицу переходных вероятностей.

3. Вычислить с помощью пакета MathCad или специально написанной программы векторы вероятностей X(t) пребывания системы в каждом из состояний для 15 шагов при старте из заданного входного состояния и построить соответствующие графики.

4. Структурировать матрицу , выделить множества невозвратных и эргодических состояний и . Выписать матрицы , , .

5. Определить среднее число тактов пребывания процесса в каждом из невозвратных состояний путем вычисления матрицы .

6. На основе матрицы вычислить среднюю трудоемкость процесса .

7. Оценить среднеквадратичное отклонение от среднего числа пребываний процесса в множестве невозвратных состояний , где и соответствующее среднеквадратичное отклонение трудоемкости от среднего .

8. Оценить предельные вероятности пребывания процесса в множестве эргодических состояний:

а) путем прямого возведения матрицы в высокую степень,

б) путем спектрального разложения матрицы.

Содержание отчета по работе

Отчет по лабораторной работе должен содержать:

• титульный лист с указанием исполнителя и номера варианта,

• исходные данные по ЦМ – граф смены состояний, матрицы переходных вероятностей ; , и вектор начальных условий X(0),

• таблицу векторов X(t), t=0,1,…15, полученных по формуле и графики , j=1,…n, t=0,…15;

• матрицу средних значений и оценку средней трудоемкости процесса ,

• матрицу дисперсий и оценку среднеквадратичного отклонения трудоемкости ,

• оценки предельных вероятностей пребывания процесса в состояниях эргодического множества, вычисленные:

а) путем прямого возведения матрицы в высокую степень,

б) путем спектрального разложения матрицы

Исходные данные к работе

Исходные данные представлены в виде таблицы 4.1 и набора схем. По указанному преподавателем номеру варианта в таблице выбирается соответствующая строка. Второй столбец таблицы указывает код схемы и стартовое состояние (например, Г1 – схема Г, старт происходит из состояния S1). Далее указаны вероятности перехода между состояниями в десятых долях (т.е. указанное в таблице значение означает, что ). Этими вероятностями помечены дуги на схеме. Некоторые дуги не помечены – соответствующие вероятности определяются из условия, что сумма вероятностей на дугах, отходящих от каждого узла, равна единице. Следующая группа столбцов задает трудоемкости отдельных процессов в секундах.

Таблица 4.1	мах 1/с		5	10	7	1	2	4	0.1	1.2	8	5	0.2	2	4	8	15	0.5	1.2	2.5	8	10.5
	Трудоемкости, С, c	С7	-	-	2	2	2	3	-	-	-	-	-	-	5	6	3	8	-	-	-	-
		С6	2	3	7	3	6	3	6	2	7	1	1	3	2	3	6	7	6	1	5	8
		С5	7	8	4	3	7	3	9	3	8	2	6	7	1	2	6	7	8	1	5	8
		С4	7	6	6	4	6	4	7	5	8	4	6	9	3	4	7	6	8	3	6	7
		С3	10	9	3	5	5	4	5	7	6	6	9	6	3	4	7	6	4	5	6	7
		С2	5	4	5	2	4	3	3	9	3	8	5	3	8	7	8	1	3	5	7	1
		С1	3	4	2	1	3	2	1	6	2	5	2	3	5	6	5	1	2	6	4	1
	Вероятности перехода Рk10	Р10	1	2	3	3	1	2	-	-	-	-	3	5	4	4	1	2	-	-	-	-
		Р9	3	2	1	1	1	1	5	6	5	1	1	5	2	2	2	2	3	3	2	1
		Р8	3	2	3	3	5	2	5	1	5	4	2	6	3	3	1	3	2	3	4	3
		Р7	2	5	1	2	1	5	2	5	2	5	1	1	3	4	2	6	2	3	3	3
		Р6	5	3	3	3	5	1	5	5	3	2	7	3	5	1	6	2	3	3	2	3
		Р5	5	3	2	4	2	2	3	4	3	2	4	3	3	7	3	4	3	4	3	2
		Р4	4	1	7	8	2	2	3	4	5	3	3	5	6	5	1	1	6	1	3	4
		Р3	7	2	5	3	3	4	3	4	2	5	1	2	4	2	1	6	2	6	3	4
		Р2	3	5	2	3	2	3	4	4	5	4	5	2	3	1	5	1	7	1	3	2
		Р1	3	4	2	3	2	3	3	4	2	3	2	3	1	3	4	5	2	8	4	4
	Схема, вход		A1	А2	Б1	Б2	В1	В2	Г1	Г2	Д1	Д2	А1	А2	Б1	Б2	В1	В2	Г1	Г2	Д1	Д2
	№ вар.		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20