Завдання для самостійної роботи

Розв’язати граничну задачу для диференціального рівняння другого порядку

№ варіанту	Диференціальне рівняння	Початкові умови
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.

Лабораторна робота №2

Тема: «Чисельне розв’язання одномірного рівняння теплопровідності».

Теоретичні відомості

Серед чисельних методів широко поширеними є різницеві методи. Як і у разі звичайних диференціальних рівнянь, вони засновані на введенні деякої різницевої сітки в даній області. Значення похідних, початкові і граничні умови виражаються через значення функцій у вузлах сітки, внаслідок чого виходить система рівнянь алгебри, звана різницевою схемою. Вирішуючи цю систему рівнянь, можна знайти у вузлах сітки значення сіткових функцій, які приблизно вважаються рівними значенням шуканих функцій.

Висловлювані в цьому розділі чисельні методи застосовні до різних типів завдань. Ми розглядатимемо лише достатньо вузький клас завдань для рівнянь першого і другого порядків, лінійних відносно похідних. (Нагадаємо, що порядок диференціального рівняння визначається порядком старшої похідної.) У разі двох незалежних змінних х, у ці рівняння можна записати у вигляді

(1)

Тут і — і(х, у) — шукана функція. Коефіцієнти а, b, з, d, f і права частина g, взагалі кажучи, можуть залежати від змінних x, у і шуканій функції і. У зв'язку з цим рівняння (1) може бути: а) з постійними коефіцієнтами; б) лінійним, якщо g лінійно залежить від і, а коефіцієнти залежать тільки від х, у; у) квазілінійним, якщо коефіцієнти залежать від і; це найзагальніший вид рівняння (1).

Існують різні види рівнянь залежно від співвідношення між коефіцієнтами. Розглянемо деякі з них. При a= b= c= f =0, , виходить рівняння першого порядку виду

яке називається рівнянням перенесення. На практиці в цьому рівнянні однієї із змінних може бути час t. Тоді його називають також еволюційним рівнянням.

Якщо хоч би один з коефіцієнтів а, b, з відмінний від нуля, то (1) є рівнянням другого порядку. Залежно від знаку дискримінанта воно може належати до одного з трьох типів: гіперболічному ( ), параболічному ( ) або еліптичному ( ).

Приведемо приклади рівнянь з приватними похідними другого порядку, які надалі розглядатимемо:

волнове рівняння (гіперболічне)

рівняння теплопровідності або дифузії (параболічне)

рівняння Лапласа (еліптичне)

Якщо права частина останнього рівняння відмінна від нуля, то воно називається рівнянням Пуассона.

Приведені рівняння називаються рівняннями математичної фізики. До їх розв’язання зводяться багато прикладних завдань. Перш ніж переходити до обговорення чисельних методів розв’язання вказаних рівнянь, розглянемо основні питання побудови різницевих схем.

2. Побудова різницевих схем. Як вже наголошувалося, побудова різницевих схем розв’язання рівнянь з приватними похідними заснована на введенні сітки в даному просторі. Вузли сітки є розрахунковими крапками.

Приклад простої прямокутної області G(х, у) з межею Г в двовимірному випадку показаний на рис.1. Сторони прямокутника діляться на елементарні відрізки крапками і . Через ці крапки проводяться два сімейства координатних прямих х=const і у=const, створюючи сітку з прямокутними комірками. Будь-який її вузол, номер якого (i,j), визначається координатами ( ). Оскільки всі комірки, показаною на рисунку 1, сіток однакові, таку сітку називають рівномірною

Рисунок 1 - Прямокутна сітка	Рисунок 2 - Елемент сітки

Аналогічно вводяться сітки для багатовимірних областей, що містять більше двох вимірювань. На рис.2 показаний елемент сітки у вигляді прямокутного паралелепіпеда для тривимірної області.

Прямокутні сітки найбільш зручні при організації обчислювального алгоритму. Разом з тим деякі схеми використовують сітки з осередками складнішої форми: трикутними, чотирикутними (не прямокутними), шестикутними і так далі

Вузли сітки, лежачі на межі Г області G, називаються граничними вузлами. Решта всіх вузлів — внутрішніми. Оскільки початкові і граничні умови при постановці завдань формулюються на межі розрахункової області, то їх можна вважати заданими в граничних вузлах сітки. Іноді граничні точки області не є вузлами сітки, що має місце для областей складної форми. Тоді або вводять додаткові вузли на перетині координатних ліній з межею, або межу приблизно замінюють ламаною, такою, що проходить через близькі до межі вузли. На цю ламану переносяться граничні умови.

Рисунок 3 - Перетворення розрахункової області

У ряді випадків складні криволінійні області за допомогою переходу до нових незалежних змінних вдається звести до простого вигляду. Наприклад, чотирикутну область G, зображену на Рисунок. 8.3, можна привести до одиничного квадрата G’ шляхом введення нових змінних замість х,у допомогою співвідношень

До нових змінних потрібно перетворити рівняння, а також початкові і граничні умови. В області G’ можна ввести прямокутну сітку, при цьому в області G їй відповідатиме сітка з нерівномірно розташованими вузлами і криволінійними осередками.

Надалі при побудові різницевих схем ми для простоти використовуватимемо прямокутні сітки (або з осередками у вигляді прямокутних паралелепіпедів в тривимірному випадку), а рівняння записуватимемо в декартових координатах (x,y,z). На практиці доводиться вирішувати задачі в різних криволінійних системах координат: полярною, циліндровою, сферичною і ін. Наприклад, якщо розрахункову область зручно задати в полярних координатах ( ), то в ній сітка вводиться з кроками і відповідно по радіус-вектору і полярному куту.

Іноді і в простій розрахунковій області вводять нерівномірну сітку. Зокрема, у ряді випадків необхідно проводити згущування вузлів для точнішого розрахунку в деяких частинах даної області. При цьому області згущування вузлів або відомі заздалегідь, або визначаються в процесі розв’язання задачі (наприклад, залежно від градієнтів шуканих функцій). У останньому випадку сітки, що виходять, називають адаптивними.

Для побудови різницевої схеми, як і у разі звичайних диференціальних рівнянь, приватні похідні в рівнянні замінюються кінцево-різницевими співвідношеннями за деяким шаблоном. При цьому точні значення шуканої функції замінюються значеннями сіткової функції у вузлах різницевої сітки.

Як приклад побудуємо деякі різницеві схеми для розв’язання рівняння теплопровідності за заданих початкових і граничних умов. Запишемо змішане граничне рівняння задачі у вигляді

, , , , , ,

(2)

де — початковий розподіл температури U (при t = 0); — розподіл температури на кінцях даного відрізання (x = 0, 1) у будь-який момент часу t. Відмітимо, що початкові і граничні умови повинні бути узгоджені, тобто

Введемо рівномірну прямокутну сітку за допомогою координатних ліній

Замінюючи в початковому рівнянні (8.2), приватні похідні шуканої функції за допомогою відносин кінцевих різниць, отримуємо різницеву схему

,

(3)

У записі цієї схеми для кожного вузла використаний шаблон, зображений на рис.4, а.

Для одного і того ж рівняння можна побудувати різні різницеві схеми. Зокрема, якщо скористатися шаблоном, зображеним на рис.4, тобто апроксимувати похідну при

,

то замість (8.3) отримаємо різницеву схему

,

(4)

Рисунок 4 - Шаблони

І в тому і іншому випадку виходить система рівнянь алгебри для визначення значень сіткової функції у внутрішніх вузлах. Значення в граничних вузлах знаходяться з граничних умов

,

(5)

Сукупність вузлів при t = const, тобто при фіксованому значення j, називається шаром (або, оскільки змінна t відповідає часу, тимчасовим шаром). Схема (8.3) дозволяє послідовно знаходити значення на (j+ 1) -му шарі через відповідні значення на j-м шарі. Такі схеми називаються явними.

Для початку рахунку по схемі (8.3) при j=1 необхідно знати розв’язання на початковому шарі при j = 0. Воно визначається початковою умовою (8.2), яка запишеться у вигляді

,

(6)

На відміну від явної схеми кожне різницеве рівняння (8.4) містить на кожному новому шарі три невідомі значення: тому не можна відразу визначити ці значення через відоме розв’язання на попередньому шарі. Такі схеми називаються неявними. При цьому різницева схема (8.4) складається з лінійних триточкових рівнянь, тобто кожне рівняння містить невідому функцій в трьох точках даного шару. Такі системи лінійних рівнянь з трьохдіагональною матрицею можуть бути вирішені методом прогону, внаслідок чого будуть знайдені значення сіткової функції у вузлах.

Відмітимо, що в розглянутому прикладі ми отримуємо двошарові схеми, коли в кожне різницеве рівняння входять значення функції з двох шарів: нижнього, на якому розв’язання вже знайдене, і верхнього, у вузлах якого розв’язання шукається.

За допомогою даного способу побудови різницевих схем, коли вхідні в рівняння окремі приватні похідні замінюються кінцево-різницевими співвідношеннями для сіткової функції (або сітковими виразами), можуть бути створені багатошарові схеми, а також схеми високих порядків точності.

Не дивлячись на те що цей спосіб отримання різницевих рівнянь найбільш простий і тому широко використовується при розробці чисельних методів, існують також інші способи побудови різницевих схем.